Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
§ 77. Pomiar długości okręgu i pola koła
§ 78. O sposobach obliczania liczby Rozmiar: 51 bajtów. Kwadratura koła
§ 79. Objętość ostrosłupa
§ 80. Ćwiczenia
Bryły obrotowe

§ 78. O sposobach obliczania liczby Rozmiar: 51 bajtów. Kwadratura koła

391. Jeżeli promień koła jest równy jednostce długości, to długość okręgu C = 2R = 2, a więc można obliczyć jako połowę długości okręgu o promieniu 1. Ale długość okręgu jest granicą obwodów wielokątów wpisanych i opisanych, więc należy w koło wpisać wielokąt foremny o n bokach, obliczyć jego obwód; potem opisać wielokąt foremny o n bokach i znaleźć jego obwód. Im więcej boków będą miały te wielokąty, tym mniejsza będzie różnica pomiędzy ich obwodami. Wtedy obwód jednego z nich można wziąć za przybliżoną długość okręgu.

Zacznijmy od sześciokąta.

Jeżeli n = 6, to

a6 = R = 1

P6 = 6 × a = 6.

Znajdźmy teraz bok b6 sześciokąta opisanego:

Rozmiar: 501 bajtów

P'6 = 6b6 = 6,9282000 ...

Weźmy n = 12 i według wzoru na podwojenie znajdźmy a12 (bok dwunastokąta foremnego wpisanego):

Rozmiar: 476 bajtów

P12 = 12a12 = 6,2111657.

Mając a12, możemy znaleźć b12 i P'12.

Idąc tym sposobem dalej, otrzymamy:

n Pn P'n
6 6,0000006,928200
126,2116576,630776
246,2652576,319056
486,2787006,292176
966,2820646,285429
1926,2829056,283746
3846,2831156,283326
7686,2831686,283220
15366,2831816,283194
30726,2831846,283187

Z podanych szeregów liczb widać dokładnie, jak obwody wielokątów opisanych i wpisanych dążą do wspólnej granicy, którą jest długość okręgu koła. Biorąc ostatnie liczby, mamy

6,283184 < 2 < 6,283187.

Stąd

3,141592 < < 3,141593

i z przybliżeniem do 0,00001 będzie:

= 3,14159.

Archimedes zatrzymał się na 96 bokach i znalazł

3Rozmiar: 97 bajtów < < 3Rozmiar: 67 bajtów.

392. Kwadraturą koła nazywa się zadanie o zbudowaniu kwadratu równoważnego z kołem.

Wielu matematyków usiłowało, bez skutku, rozwiązać to zadanie, aż zostało dowiedzione, że jest liczbą przestępną, a więc, że to zadanie przy użyciu cyrkla i linijki rozwiązane być nie może.

Z tych prac pozostały dość liczne przybliżone sposoby. Godny uwagi jest następujący sposób polskiego uczonego, Adama Kochańskiego (XVII wiek):

W kole o promieniu R poprowadźmy średnicę AB (rys. 357) i przez punkt B styczną, a następnie cięciwę BC o długości równej długości promienia i ze środka O spuśćmy OD Rozmiar: 53 bajtów BC. Jeżeli na stycznej od punktu D odmierzymy DE = 3R i połączymy A i E, to odcinek AE jest przybliżoną długością półokręgu.

Dowód. BD jest połową boku sześciokąta opisanego, więc

Rozmiar: 427 bajtów

Rys. 357

Rys. 357

a z trójkąta ABE mamy

Rozmiar: 509 bajtów

Stąd

AE = Rozmiar: 212 bajtów

tj. AE = 3,14153 ... × R.

Ale długość półokręgu równa się

R = 3,14159 ... × R,

więc AE jest długością półokręgu, przybliżoną do 0,0001.

Ponieważ pole koła jest równe R2 = R × R, więc możemy już wykreślić prostokąt o podstawie AE = R i wysokości OB = R równoważny z kołem. Mając prostokąt, łatwo go już zamienić na równoważny kwadrat.

Takie jest jedno z najprostszych przybliżonych rozwiązań kwadratury koła dokonane przez Kochańskiego.

393. Uwaga. Zagadnienie obliczenia liczby oraz kwadratury koła interesowało ludzkość od bardzo odległych czasów, a najdawniejszy ślad tych poszukiwań znajduje się w papirusie Rhinda, najdawniejszym znanym zabytku wiedzy matematycznej u Egipcjan, napisanym między 2000-1700 r. przed Chrystusem przez Ahmesa. Tam już podana jest wartość = Rozmiar: 109 bajtów, co daje 3,1605 i jest to dokładność zdumiewająca jak na owe czasy.

Daleko mniejszą dokładność, = 3, stosowali Babilończycy, a w pewnym miejscu Ksiąg Starego Testamentu w opisie świątyni Salomona znajduje się wzmianka o tzw. "miedzianym morzu", którego średnica miała zawierać 10 łokci, a obwód 30 łokci).

Dopiero Archimedesowi zawdzięczamy pierwszą naukową metodę rozwiązania tego zagadnienia. Ludolf van Ceulen, o którym już wspominaliśmy, posługiwał się w swych obliczeniach metodą Archimedesa, aż dopiero w późniejszych czasach, kiedy matematyka wyższa zrobiła poważne kroki w swym rozwoju, osiągnięto możliwość obliczania z dowolną dokładnością, bez stosowania tak uciążliwej metody wymagającej wielkiego nakładu czasu i pracy, metody obwodów.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach