Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
§ 77. Pomiar długości okręgu i pola koła
§ 78. O sposobach obliczania liczby Rozmiar: 51 bajtów. Kwadratura koła
§ 79. Objętość ostrosłupa
§ 80. Ćwiczenia
Bryły obrotowe

§ 79. Objętość ostrosłupa

94. Do ostrosłupów nie da się zastosować pojęcia równoważności, które niedawno wykorzystywaliśmy w graniastosłupach przez podział ich na części równe. Użyjemy tu metody granic, którą posługiwaliśmy się dla pomiaru koła. Przede wszystkim musimy więc ustalić pojęcie objętości ostrosłupa.

Niech będzie dany jakikolwiek ostrosłup SABC (rys. 358) o wysokości h, podzielmy ją na dowolną liczbę n równych części i przez punkty podziału poprowadźmy płaszczyzny równoległe do podstawy ABC. Wtedy w przecięciu z ostrosłupem otrzymamy szereg trójkątów.

Na podstawie ABC wystawmy graniastosłup v1 o wysokości Rozmiar: 70 bajtów, na pierwszym przekroju wystawmy znowu graniastosłup v2 o takiej samej wysokości itd., aż do ostatniego przekroju; otrzymamy szereg graniastosłupów wystających, które nazwiemy "zewnętrznymi":

v1, v2, v3 ... vn.

Następnie na ABC zbudujmy graniastosłup u1, który za podstawę ma pierwszy przekrój, a za wysokość Rozmiar: 70 bajtów. Na pierwszym przekroju zbudujmy graniastosłup u2 o podstawie będącej drugim przekrojem i wysokości Rozmiar: 70 bajtów itd., otrzymamy szereg graniastosłupów położonych wewnątrz danego ostrosłupa, czyli "wewnętrznych", w liczbie n - 1;

u1, u2, u3, ... un-1.

Nazwijmy sumę objętości „zewnętrznych” graniastosłupów literą V' sumą objętości „wewnętrznych” literą U' i zauważmy, że

v2 = u1; v3 = u2; v4 = v3 ... vn = un - 1,

a więc

V' - U' = v1.

Objętość v1 graniastosłupa umiemy obliczyć:

v1 = (pole ABC) × Rozmiar: 70 bajtów,

Rys. 358

Rys. 358

a ponieważ czynnik Rozmiar: 70 bajtów może być tak mały, jak tylko zechcemy przez powiększanie liczby n, więc widzimy, że różnica V' - U' stać się może dowolnie mała.

Jeżeli liczbę n części równych, na które podzielimy wysokość danego ostrosłupa, będziemy podwajali nieograniczenie i za każdym razem tworzyli bryły, złożone z graniastosłupów zewnętrznych i wewnętrznych, to otrzymamy dwa nieskończone ciągi liczb:

U', U'', U''', ...

V', V'', V''', ...

o których możemy powiedzieć, co następuje:

1) pierwszy ciąg jest rosnący, drugi zaś malejący,

2) wyrazy pierwszego ciągu są mniejsze od wyrazów drugiego i

3) różnica między wyrazami jednego i drugiego ciągu dąży do zera, gdy liczba n nieograniczenie rośnie.

A zatem możemy twierdzić, że te dwa ciągi są zbieżne i mają wspólną granicę.

Tę wspólną granicę nazywamy objętością ostrosłupa.

Z tego, co było wyżej powiedziane, wynika, że dwa ostrosłupy o wysokościach równych, a podstawach równoważnych, mają objętości równe.

395. Wniosek 1. Oznaczmy pole podstawy danego ostrosłupa przez B, pola kolejnych przecięć, o których wyżej była mowa, licząc od podstawy, przez B1, B2, B3, itd., wtedy, zakładając, że przecięcie B1 leży w odległości (n - 1) od wierzchołka, mamy:

Rozmiar: 332 bajtów

Podobnie

Rozmiar: 572 bajtów

.............

Rozmiar: 520 bajtów

Ale suma objętości V' graniastosłupów zewnętrznych jest

V' = Rozmiar: 70 bajtów(B + B1 + B2 + ... + Bn),

więc, pisząc B = Rozmiar: 99 bajtówB, mamy

Rozmiar: 323 bajtów

Ale Rozmiar: 337 bajtów*

Zatem

Rozmiar: 276 bajtów

Podzielmy licznik i mianownik przez n3; dostajemy

Rozmiar: 147 bajtów

Jeśli liczba n wzrasta nieograniczenie, wtedy ułamek Rozmiar: 67 bajtów dąży do zera i otrzymamy objętość ostrosłupa

Rozmiar: 124 bajtów ,

tj. objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części iloczynu jego pola podstawy i długości wysokości.

Uwaga. Korzystając z dowiedzionego twierdzenia, wzór na objętość ostrosłupa można zinterpretować geometrycznie w następujący sposób:

Rys. 359

Rys. 359

Zbudujmy graniastosłup trójkątny ABCDEF (rys. 359) i płaszczyzną, przesuniętą przez krawędź BC oraz wierzchołek D, podzielmy go na dwa ostrosłupy:

DABC i DBEFC.

Pierwszy z nich jest trójkątny, drugi zaś czworokątny, który możemy płasz czyzną przekątną DEC rozciąć na dwa ostrosłupy trójkątne i w ten sposób dany graniastosłup podzielimy na trzy ostrosłupy trójkątne:

1) DABC, 2) DBEC i 3) DEFC.

Możemy teraz udowodnić, że te ostrosłupy mają objętości równe. Istotnie, ponieważ trójkąty BEC = CEF, (więc wierzchołek D jest wspólny, a podstawy leżą na tej samej płaszczyźnie i są przystające), a zatem ich objętości są równe.

To, że ostrosłupy 1) i 3) mają objętości równe, wynika stąd, że ostrosłup 3) jest tym samym, co ostrosłup CDEF, który ma z 1) równą podstawę i wysokość.

W ten sposób widzimy, że objętość ostrosłupa jest równa trzeciej części objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i tej samej wysokości.

Dowód dotyczył ostrosłupa trójkątnego, łatwo jednak uogólnić wynik na ostrosłup wielokątny.

396. Wniosek 2. Objętość ostrosłupa ściętego możemy obliczyć w sposób następujący:

.Rys. 360

Rys. 360

Niech będzie dany ostrosłup ścięty (rys. 360), którego większą podstawą jest ABC o polu B, mniejszą zaś DEF o polu B', wysokość niech będzie równa h. Jeżeli daną bryłę dopełnimy do ostrosłupa całkowitego przez przedłużenie krawędzi bocznych i oznaczymy literą z odległość górnej podstawy od otrzymanego wierzchołka, to objętość V danego ostrosłupa ściętego obliczyć można, jako różnicę między objętością ostrosłupa o podstawie B i wysokości (h + z), a objętością ostrosłupa o podstawie B' i wysokości z, a więc

( 1 )

Rozmiar: 393 bajtów

Ale

Rozmiar: 167 bajtów

stąd mamy:

Rozmiar: 684 bajtów

biorąc znak dodatni jako jedynie tu możliwy (bo B > B'), otrzymamy

Rozmiar: 238 bajtów

Podstawiając otrzymaną wartość na z w równanie (1), otrzymamy

Rozmiar: 275 bajtów

czyli

Rozmiar: 232 bajtów

Ponieważ w założeniu nie zrobiono zastrzeżenia, jaki ma być dany ostrosłup, więc oczywiście wzór stosuje się do ostrosłupa ściętego o dowolnej liczbie ścian bocznych.

Otrzymaliśmy wzór, który można wypowiedzieć w sposób następujący:

objętość ostrosłupa ściętego jest równa sumie objętości trzech ostrosłupów, które mają wysokość wspólną z danym, a za podstawy: jeden ma dolną, drugi górną, trzeci zaś średnią proporcjonalną między nimi.

Uwaga. Wzór na objętość ostrosłupa ściętego trójkątnego można zinterpretować geometrycznie w następujący sposób:

Rys. 361

Rys. 361

Niech będzie dany ostrosłup ścięty (rys. 361), którego dolną podstawą jest Rozmiar: 51 bajtów ABC o polu B, górną Rozmiar: 51 bajtów DEF o polu B'.

Przez krawędź BC i wierzchołek D przesuńmy płaszczyznę, która daną bryłę podzieli na dwa ostrosłupy (całkowite):

DABC i DBEFC.

Pierwszy z nich jest trójkątny o polu podstawy B i wysokości równej wysokości ostrosłupa ściętego h. Drugi jest czworokątny, który możemy płaszczyzną przekątną DEC rozciąć na dwa trójkątne.

1) DABC; 2) DEFC; 3) DBEC.

Zauważmy, że ostrosłup 2) jest tym samym, co ostrosłup CDEF, który ma pole podstawy B', a wysokość h.

Ostrosłup 3) zastąpimy innym, pozostawiając podstawę BEC tę samą, a wierzchołek D przenosząc do punktu G po równoległej DG do BE (więc i do podstawy). Otrzymujemy nowy ostrosłup GBEC o objętości takiej samej, jak 3), ale w otrzymanym ostrosłupie możemy za wierzchołek wziąć punkt E, za podstawę zaś BGC, wtedy ten ostrosłup (EBGC) będzie miał wysokość h, a pole pod stawy, które nazwiemy x, będzie wielkością średnią proporcjonalną między B i B', o czym łatwo się przekonać.

Istotnie

Rozmiar: 210 bajtów

z drugiej strony, Rozmiar: 51 bajtów DEF Rozmiar: 61 bajtów Rozmiar: 51 bajtów ABC, więc

Rozmiar: 157 bajtów

a zatem

Rozmiar: 139 bajtów

czyli

x2 = B × B'.

Stąd już otrzymujemy wzór na objętość ostrosłupa ściętego trójkątnego.

397. Jeżeli graniastosłup przetniemy płaszczyzną nierównoległą do podstawy, to bryłę, zawartą między podstawą a tą płaszczyzną, nazywamy graniastosłupem ściętym.

Objętość graniastosłupa ściętego trójkątnego obliczymy w następujący sposób.

.Rys. 362

Rys. 362

Niech będzie dany graniastosłup ścięty AF (rys. 362).

Płaszczyzną AEC podzielmy go najpierw na dwa ostrosłupy:

EABC i EADFC.

Pierwszy z nich jest ostrosłupem trójkątnym. Drugi EADFC podzielmy płaszczyzną DEC na dwa ostrosłupy trójkątne:

EADC i EDFC.

Teraz graniastosłup dany podzielony został na trzy następujące ostrosłupy:

1) EABC, 2) EADC i 3) EDFC.

Ostrosłup 2) można zastąpić ostrosłupem BADC o tej samej objętości (podstawa ta sama, a wierzchołki E i B leżą na prostej równoległej do podstawy), ten zaś ostrosłup jest tym samym, co DABC, którego podstawą jest ABC, a wierzchołkiem punkt D.

Nareszcie ostrosłup 3) można znowu zastąpić ostrosłupem BAFC, którego podstawa AFC jest równoważna podstawie DFC, a wierzchołki B i E leżą na prostej równoległej do podstaw. Ale ostrosłup BAFC jest tym samym, co FABC, którego podstawą jest ABC, a wierzchołkiem punkt F.

Widzimy zatem, że objętość graniastosłupa ściętego trójkątnego jest równa sumie objętości trzech ostrosłupów, które mają podstawę równą podstawie dolnej danego graniastosłupa, a wierzchołki są wierzchołkami górnej podstawy.

Oznaczmy pole dolnej podstawy B, a wysokości poszczególnych ostrosłupów h1, h2, h3, wtedy będzie

Rozmiar: 196 bajtów



 [  1]  [  2]  [  3 [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach