§ 80. Ćwiczenia
1. Obliczyć długość okręgu o promieniu a)
r = 28 cm, b)
r = 16 cm.
2. Obliczyć promień koła, jeżeli długość okręgu jest równa 42 cm.
3. Długość okręgu wynosi a. Obliczyć pole koła.
4. Obliczyć długości łuków, na których oparte są kąty środkowe o mierze:
30o, 45o, 52o, 22o 30',
wiedząc, że promień koła R = 12 cm.
5. Obliczyć miarę kąta środkowego opartego na łuku o długości 16 cm, wiedząc, że promień koła ma długość 18 cm.
6. Wyrazić w radianach kąty o mierze:
30o, 90o, 60o, 48o, 24o 20'.
7. Jaką drogę w ciągu godziny przebędzie punkt, położony na równiku ziemskim? Przyjąć długość promienia równika 6000 km.
8. Wskazówka minutowa zegara na wieży ma długość 50 cm. Jaką drogę przebędzie jej punkt końcowy w ciągu doby?
9. Obwód okręgu jest dłuższy od jego średnicy o 25 cm. Jaka jest długość tego okręgu?
10. Łuk wycinka kołowego wykonany przez kąt środkowy 90o jest krótszy o 10 cm od średnicy koła. Obliczyć promień koła.
11. Okrąg ma długość 44 cm. Obliczyć pole koła ograniczonego tym okręgiem.
12. Z koła o promieniu R = 12 cm wzięto wycinek kołowy o kącie środkowym 36o20'. Obliczyć pole tego wycinka.
13. Obliczyć pole pierścienia kołowego, ograniczonego dwoma współśrodkowymi okręgami o promieniach r1 i r2.
14. Obliczyć pole koła wpisanego w kwadrat o polu 64 cm2.
15. Drewnianą tarczę kształtu koła o promieniu 1,5 m trzeba obić z obu stron blachą miedzianą. Ile prostokątnych arkuszy blachy długości 0,5 m i szerokości 24 cm każdy trzeba wziąć w tym celu?
16. Dane jest koło. O ile należy zmniejszyć jego promień, żeby długość okręgu zmniejszyła się o 20 cm?
17. Wycinek kołowy koła o promieniu R = 15 cm ma pole 125 cm2. Obliczyć miarę kąta tego wycinka i długość jego łuku.
18. Dany jest wycinek kołowy o kącie 45o i długości łuku 30 cm. Obliczyć pole tego wycinka.
19. Obliczyć pole odcinka kołowego o promieniu 10 cm, na łuku którego oparty jest kąt środkowy o mierze: 90o; 45o; 60o; 36o; 62o.
20. Koło o promieniu r podzielono na połowy okręgiem współśrodkowym z danym. Obliczyć jego promień.
(21-24). Skonstruuj promień koła, którego pole jest równe:
21. sumie pól dwóch kół danych,
22. różnicy pól tych kół,
23. podwójnemu, potrójnemu polu koła danego,
24. połowie pola koła danego.
25. Z koła o promieniu r wycięto kwadrat wpisany w to koło. Jakie jest pole każdej z pozostałych części?
26. Z sześciokąta foremnego o boku a wycięto koło w ten wielokąt wpisane. Jakie jest pole pozostałych części sześciokąta?
27. Dane jest półkole o średnicy 2r. Na obu połowach średnicy zbudowano dwa półkola, położone wewnątrz danego. Znaleźć koło styczne do wszystkich trzech półkoli.
Wskazówka. Promień żądanego koła jest równy r/3.
28. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano półkola leżące po tej samej stronie przeciwprostokątnej co obszar trójkąta. Udowodnić, że pola otrzymanych figur półksiężycowych dają w sumie pole danego trójkąta.
(Są to tzw. księżyce Hipokratesa z Chios, matematyka greckiego żyjącego w V w. p.n.e.).
29. Średnicę półkola podzielono w pewnym punkcie na dwie nierówne części i na każdej z tych części narysowano półkole wewnątrz pierwszego.
Udowodnić, że pole figury ograniczonej tymi trzema łukami jest równe polu koła, którego średnicą jest prostopadła do średnicy wystawiona z punktu styczności, ograniczona największym półokręgiem.
Figura, o której mowa w zadaniu, nosi nazwę sierpa Archimedesa.
30. Ostrosłup o wysokości 15 cm ma za podstawę trójkąt o bokach długości 13 cm, 14 cm i 15 cm. Obliczyć objętość tego ostrosłupa.
31. Obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego o wysokości h, którego podstawą jest wielokąt foremny o boku a:
a) trójkąt, b) kwadrat, c) sześciokąt, d) dziesięciokąt.
32. Obliczyć objętość ostrosłupa prostego o krawędzi bocznej o długości b, którego podstawą jest kwadrat o boku a.
33. Obliczyć objętość ostrosłupa prostego, którego krawędź boczna ma długość b, a podstawa jest foremnym a) sześciokątem o boku a, b) dwunastokątem o boku a.
34. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego o krawędzi bocznej 25 cm i wysokości 20 cm.
35. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego o krawędzi bocznej 13 cm i wysokości 12 cm.
36. Obliczyć pole ściany bocznej prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego o objętości v i krawędzi podstawy a.
37. Znaleźć stosunek objętości dwóch ostrosłupów prawidłowych, z których jeden jest sześciokątny, drugi trójkątny, w każdym zaś wysokość jest równa bokowi podstawy.
38. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego ściętego, o wysokości 10 cm, którego boki podstaw mają długości: 8 cm i 5 cm.
39. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ściętego o wysokości h i bokach podstawy a i b.
40. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ściętego, którego wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm, a boki podstaw mają długość 5 cm i 3 cm.
41. Mając krawędź a, obliczyć objętości foremnych wielościanów: a) czworościanu, b) ośmiościanu, c) dwudziestościanu.
. Kwadratura koła