Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Bryły obrotowe  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe
§ 81. Walec
§ 82. Stożek
§ 83. Kula
§ 84. Ćwiczenia

Bryły obrotowe

§ 81. Walec

398. Określenia. Bryłę nazywamy obrotową, jeżeli powstała z obrotu pewnej figury płaskiej dokoła prostej, nazywanej osią.

Walec obrotowy, czyli po prostu walec, jest bryłą, powstałą z obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków.

.Rys. 363

Rys. 363

Jeżeli np. prostokąt OO'AB (rys. 363) obraca się dokoła boku OO', to utworzy się walec. Punkty A i B opiszą wtedy koła. Koła te nazywamy podstawami walca, a OB = O'A są ich promieniami i nazywa my je promieniem walca. Prosta AB opisze powierzchnię krzywą, którą nazywamy powierzchnią walca. Prostą AB nazywamy jej linią tworzącą. Odległość OO' pomiędzy podstawami nazywamy wysokością walca.

Przekrój walca płaszczyzną prostopadłą do osi jest kołem, to prosta KL leżąca na płaszczyźnie przecięcia jest prostopadła do osi OO', a więc podczas obrotu prostokąta OO'AB opisze promieniem KL koło na tej płaszczyźnie. Oczywiście, koło to będzie równe podstawie walca.

Przekrój walca płaszczyzną przechodzącą przez oś lub prostą do niej równoległą jest prostokątem, co jest oczywiste.

399. Przez powierzchnię walcową w sensie ogólniejszym rozumiemy taką, którą opisuje linia prosta AK (rys. 364) poruszająca się po konturze pewnej krzywej ABC, pozostając jednak równoległą do swego pierwotnego położenia. Prostą nazywamy tworzącą, a krzywa ABC kierownicą. Jeżeli kierownicą jest okrąg, to walec jest kołowy; jest pochyły, jeżeli tworząca nie jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Nadal rozważać będziemy wyłącznie walec kołowy prosty, tj. walec obrotowy.

Rys. 364 Rys. 365
Rys. 364 Rys. 365

400. Jeżeli w podstawę walca (obrotowego) wpiszemy wielokąt ABC ... i uznamy go za podstawę graniastosłupa o wysokości wspólnej z walcem (rys. 365), to otrzymujemy graniastosłup wpisany w walec. Jego krawędzie boczne będą tworzącymi walca.

Rys. 366

Rys. 366

Jeżeli na płaszczyźnie podstawy walca poprowadzimy prostą KL styczną do podstawy w punkcie D (rys. 366) i przesuniemy płaszczyznę P przez tę styczną i przez tworzącą DE, to nazywać się ona będzie płaszczyzną styczną do walca.

Opiszmy na podstawie walca wielokąt i wystawmy na nim graniastosłup o wysokości wspólnej z walcem, wtedy otrzymamy graniastosłup opisany na walcu. Jego ściany boczne będą styczne do powierzchni walcowej, a każdą linią styczności będzie jej tworząca.

401. Powierzchnia boczna walca. Niech będzie dany walec. Sposobem, o którym dopiero co mówiliśmy, wpiszmy w ten walec graniastosłup foremny, a następnie opiszmy na nim graniastosłup foremny o takiej samej liczbie ścian. Jeżeli obwód podstawy pierwszego graniastosłupa oznaczymy przez Pn, drugiego przez P'n, a wysokość przez h, to pola powierzchni bocznych tych graniastosłupów będą: Pn × h i P'n × h.

Jeżeli teraz liczbę ścian bocznych tych graniastosłupów będziemy podwajali nieograniczenie, to pola ich powierzchni bocznych będą odpowiednio równe:

Pn × h, P2n × h, P4n × h, ...

P'n × h, P'2n × h, P'4n × h, ...

Otrzymamy w ten sposób dwa ciągi nieskończone liczb, z których jeden wyraża pola powierzchni bocznych graniastosłupów wpisanych w walec, a drugi opisanych.

Oczywistą jest rzeczą, że te ciągi będą zbieżne i mają taką samą granicę.

Tę wspólną ich granicę nazywamy polem powierzchni bocznej walca.

Stąd już wynika, że dla obliczenia pola tej powierzchni należy znaleźć granicę Pn × h, a że granicą Pn jest C = 2R (gdzie R jest promieniem podstawy), więc pole powierzchni bocznej walca wynosi

S = 2R × h.

Pole powierzchni całkowitej znajdziemy, dodając do pola powierzchnii bocznej pola podstaw:

S' = 2R × h + 2R2 = 2R (R + h).

402. Objętość walca. Powracając do graniastosłupów wpisanych w walec i opisanych na nim, oznaczmy pola ich podstaw odpowiednio przez:

Bn, B2n, B4n, ...

B'n, B'2n, B'4n, ...

Objętości tych graniastosłupów utworzą znowu dwa ciągi nieskończone liczb:

Bn × h, B2n × h, B4n × h, ...

B'n × h, B'2n × h, B'4n × h, ... ,

które będą zadość czyniły warunkom zbieżności.

Wspólną granicę tych ciągów nazywamy objętością walca.

Stąd już wynika, że dla obliczenia objętości walca należy znaleźć granicę Bn × h, gdy n nieograniczenie rośnie, a że granicą Bn jest pole podstawy walca, czyli pole koła, więc objętość walca jest równa

V = R2 × h,

gdzie R oznacza promień jego podstawy, a h wysokość.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach