Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Bryły obrotowe  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe
§ 81. Walec
§ 82. Stożek
§ 83. Kula
§ 84. Ćwiczenia

§ 82. Stożek

403. Określenia. Stożek obrotowy, czyli po prostu stożek, jest bryłą, powstałą z obrotu trójkąta prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Jeżeli np. trójkąt prostokątny SOA (rys. 367) obraca się dokoła boku SO, to otrzymamy stożek.

Punkt A zakreśli wtedy okrąg koła, które nazywamy podstawą stożka, jego promień OA nazywamy promieniem stożka.

Prosta SA opisze powierzchnię krzywą, którą nazywamy powierzchnią stożkową, a prostą SA linią tworzącą.

Punkt S jest wierzchołkiem stożka, a jego odległość SO od podstawy wysokością stożka.

.Rys. 367 Rys. 368
Rys. 367 Rys. 368

Przecięcie stożka płaszczyzną prostopadłą do osi jest kołem (rys. 368), dlatego że prosta KL jako leżąca na tej płaszczyźnie jest prostopadła do osi, a podczas obrotu tworzącej SA dokoła osi punkt L opisze promieniem KL okrąg, który będzie leżał na tej płaszczyźnie.

Jeżeli płaszczyzna nie jest prostopadła do osi, nie jest równoległa do osi ani do tworzącej, to w przecięciu otrzymujemy elipsę.

Przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez oś jest trójkątem równoramiennym, co jest oczywiste.

Rys. 369

Rys. 369

404. Przez powierzchnię stożkową w sensie ogólniejszym rozumiemy taką, którą opisuje linia prosta AB (rys. 369), kiedy jeden jej punkt S pozostaje nieruchomy, a inny (A) porusza się po konturze pewnej krzywej ACD.

Prostą AB nazywamy tworzącą stożka, krzywą ACD jego kierownicą.

Jeżeli kierownicą jest okrąg koła, stożek nazywamy kołowym; jest pochyły, jeżeli jego oś nie jest prostopadła do podstawy.

Będziemy zajmować się wyłącznie stożkiem kołowym prostym, czyli stożkiem obrotowym.

405. Jeżeli w podstawę stożka wpiszemy wielokąt ABC... (rys. 370) i weźmiemy go za podstawę ostrosłupa o wysokości wspólnej ze stożkiem, to taki ostrosłup nazywamy wpisanym w stożek. Jego krawędzie boczne będą tworzącymi stożka.

Jeżeli na płaszczyźnie podstawy stożka poprowadzimy prostą KL (rys. 371) styczną do podstawy w punkcie C i przesuniemy płaszczyznę przez tę styczną i tworzącą SC, to tę płaszczyznę nazywamy płaszczyzną styczną do stożka.

Opiszmy na podstawie stożka wielokąt i wystawmy na nim ostrosłup o wysokości wspólnej ze stożkiem, wtedy otrzymamy ostrosłup opisany na stożku. Jego ściany będą styczne do powierzchni stożkowej, a każdą linią styczności będzie jej tworząca.

Rys. 370 Rys. 371
Rys. 370 Rys. 371

406. Powierzchnia boczna stożka. Niech będzie dany stożek o wysokości h, promieniu podstawy R i tworzącej l. Wpiszmy w ten stożek ostrosłup foremny o n ścianach bocznych. Następnie opiszmy na stożku ostrosłup foremny o tyluż ścianach, oznaczmy obwód podstawy pierwszego ostrosłupa przez Pn (a przez ln wysokość ściany bocznej). Dla drugiego ostrosłupa obwód podstawy oznaczmy przez P'n, a wysokością ściany bocznej będzie tworząca stożka l. Wtedy pola powierzchni bocznych tych ostrosłupów odpowiednio wynoszą.

Rozmiar: 69 bajtówPn × ln i Rozmiar: 69 bajtówP'n × l.

Jeżeli teraz liczbę ścian bocznych tych ostrosłupów będziemy podwajali nieograniczenie, to pola ich powierzchni bocznych będą równe

Rozmiar: 69 bajtówPn × ln, Rozmiar: 69 bajtówP2n × l2n, Rozmiar: 69 bajtówP4n × l4n, ...

Rozmiar: 69 bajtówP'n × l, Rozmiar: 69 bajtówP'2n × l, Rozmiar: 69 bajtówP'4n × l. ...

Otrzymamy dwa nieskończone ciągi liczb, które są zbieżne i mają wspólną granicę.

Tę wspólną granicę nazywamy polem powierzchni bocznej stożka (krócej: powierzchnią boczną).

Stąd już wynika, że dla obliczenia pola tej powierzchni należy znaleźć granicę jednego z otrzymanych ciągów (np. drugiego), a że granicą P'n jest C = 2R, więc powierzchnia boczna stożka

S = Rl.

Powierzchnię całkowitą znajdziemy, dodając do pola powierzchni bocznej pole podstawy

S' = Rl + R2 = R (l + R).

407. Objętość stożka. Jeżeli pola podstaw ostrosłupów wpisanych w stożek i opisanych na nim oznaczymy odpowiednio przez:

Bn, B2n, B4n, ...

B'n, B'2n, B'4n, ...

a wysokość stożka przez h, to objętości tych ostrosłupów utworzą znów dwa nieskończone ciągi liczb

Rozmiar: 69 bajtówBn × h, Rozmiar: 69 bajtówB2n × h, Rozmiar: 69 bajtówB4n × h, ...

Rozmiar: 69 bajtówB'n × h, Rozmiar: 69 bajtówB'2n × h, Rozmiar: 69 bajtówB'4n × h, ...

które są zbieżne i mają taką samą granicę.

Granicę tych ciągów nazywamy objętością stożka.

Stąd już wynika, że dla obliczenia objętości stożka należy znaleźć granicę Rozmiar: 69 bajtówBn × h, a że granicą Bn, kiedy n nieograniczenie rośnie, jest pole podstawy stożka czyli pole koła, więc objętość stożka

V = Rozmiar: 69 bajtówR2h.

408. Określenia. Jeżeli stożek przetniemy płaszczyzną równoległą do podstawy, to część stożka, zawartą między podstawą a tą płaszczyzną, nazywamy stożkiem ściętym (rys. 372).

Stożek ścięty można uważać za bryłę, powstałą z obrotu trapezu prostokątnego OO'AB dokoła prostej zawierającej bok OO'.

Koła O i O' nazywają się podstawami stożka ściętego, prosta AB tworzącą, a odległość OO' wysokością stożka ściętego.

Wnioski. Przeprowadzając podobne rozumowanie, które nas doprowadziło do powierzchni i objętości ostrosłupa ściętego, otrzymujemy:

1) Powierzchnia boczna stożka ściętego

S = (R + R') × l,

gdzie R i R' są promieniem podstaw, a l jest tworzącą stożka ściętego.

2) Objętość stożka ściętego

Rozmiar: 233 bajtów

gdzie h oznacza wysokość stożka ściętego.

Uwaga. Jeżeli w stożku ściętym poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do osi, przechodzącą przez środek tworzącej, to promień R0 tego przekroju (który nazywa się przekrojem środkowym), będzie równy Rozmiar: 111 bajtów, jako linia środkowa trapezu, a więc pole powierzchni bocznej stożka ściętego

S = 2R0l,

tj. pole powierzchni bocznej stożka ściętego jest równe iloczynowi obwodu przekroju środkowego i długości tworzącej.



 [  1]  [  2 [  3]  [  4] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach