Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Bryły obrotowe  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe
§ 81. Walec
§ 82. Stożek
§ 83. Kula
§ 84. Ćwiczenia

§ 84. Ćwiczenia

1. Powierzchnię walcową rozwinąć na płaszczyźnie. Obliczyć pole otrzymanej figury w zależności od promienia podstawy i wysokości walca.

2. Przecięto walec płaszczyzną nachyloną pod danym kątem do jego podstawy. Jaka będzie zależność pola przekroju od tego kąta?

3. Płaszczyzną równoległą do podstawy walca przeciąć jego powierzchnię boczną w danym stosunku.

4. Płaszczyzną równoległą do osi przeciąć walec w taki sposób, aby pole przekroju było równe a2.

5. Przez dany punkt na powierzchni bocznej walca poprowadzić płaszczyznę styczną do tego walca.

6. W walcu promień podstawy = 12 cm, wysokość h = 15 cm. Obliczyć pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego walca.

7. Wysokość walca h = 10 cm, jego powierzchnia boczna p = 124 cm2. Obliczyć objętość.

8. Co się stanie z objętością walca, jeżeli promień jego podstawy powiększymy trzy razy.

9. Jak należy zmienić promień podstawy walca, żeby jego objętość zmniejszyła się 9 razy, jeżeli wysokość pozostawimy tę samą?

10. Znaleźć stosunek objętości dwóch walców o tej samej powierzchni bocznej, ale o różnych wymiarach.

11. Znaleźć stosunek powierzchni dwóch różnych walców o tej samej objętości.

12. Znaleźć stosunek powierzchni bocznych i objętości walców, które powstały z obrotu prostokąta dokoła różnych od siebie boków.

13. Walec, którego promień podstawy jest R, a wysokość h, przecięto płaszczyzną równoległą do jego osi w odległości a od niej. Obliczyć pole przekroju.

14. Obliczyć objętość walca opisanego na prostopadłościanie o wymiarach a, b i c.

15. Walcami podobnymi nazywamy takie walce, których promienie podstaw i wysokości są do siebie proporcjonalne.

Znaleźć stosunek powierzchni i objętości walców podobnych.

16. Walcem równobocznym nazywamy taki walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem.

W walcu równobocznym o promieniu podstawy R połączono punkt okręgu górnego z punktem okręgu dolnego (nie położonym na tej samej tworzącej). Odcinek, który łączy te dwa punkty, jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym a. Znaleźć najkrótszą odległość tego odcinka od osi walca.

17. Litr (miara płynów) ma kształt walca, którego wysokość jest dwa razy większa od średnicy jego podstawy, a objętość jest równa 1 dcm3. Obliczyć wysokość i promień podstawy litra.

18. Prostokąt obraca się dokoła jednego ze swych boków, a potem dokoła drugiego. Objętości dwóch walców powstałych z tych obrotów wynoszą V i V'. Obliczyć przekątną prostokąta.

19. W walec wpisano sześciokątny graniastosłup foremny. Porównać jego powierzchnię i objętość z powierzchnią i objętością walca.

20. Powierzchnię stożkową rozwinąć na płaszczyźnie. Obliczyć pole otrzymanej figury w zależności od promienia stożka i jego tworzącej.

21. Przecięto stożek płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i nachyloną do podstawy pod danym kątem. Jaką figurę otrzymamy w przekroju?

22. Płaszczyzną równoległą do podstawy przeciąć stożek tak, aby w przecięciu otrzymać koło o danym promieniu.

23. Przez punkt, leżący na powierzchni bocznej stożka poprowadzić płaszczyznę do niego styczną.

24. Płaszczyzną równoległą do podstawy przeciąć powierzchnię boczną stożka w danym stosunku.

25. Obliczyć pole powierzchni bocznej i całkowitej oraz objętość stożka, którego promień podstawy r = 12 cm, a tworząca l = 20 cm.

26. Obliczyć pole powierzchni bocznej i całkowitej oraz objętość stożka, którego promień podstawy r = 10 cm, a wysokość h = 24 cm.

27. Stożek nazywa się równobocznym, jeżeli jego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym.

Obliczyć objętość stożka równobocznego, którego promień podstawy ma długość R.

28. Obliczyć pole powierzchni stożka równobocznego o objętości V.

29. Równoległobok obraca się raz dokoła jednego z boków, drugi raz dokoła innego (nierównego z pierwszym). Udowodnić, że stosunek objętości brył powstałych z tych obrotów jest równy stosunkowi jednego z boków równoległoboku do wysokości względem drugiego boku.

30. Co się stanie z polem powierzchni bocznej stożka, jeżeli promień jego podstawy zmniejszymy m razy, a wysokość pozostawimy bez zmiany? Co się stanie wtedy z objętością stożka?

31. Stożek i walec mają wspólną podstawę i wspólną wysokość. Znaleźć stosunek pól powierzchni bocznych oraz objętości tych brył.

32. Stożki nazywamy podobnymi, jeżeli ich promienie podstaw i wysokości są do siebie proporcjonalne.

Znaleźć stosunek pól powierzchni (bocznych i całkowitych) oraz objętości stożków podobnych.

33. Stożek o wysokości h i promieniu podstawy R przeciąć płaszczyzną równoległą do podstawy w taki sposób, żeby powierzchnia boczna podzieliła się na połowy.

34. W jakiej odległości od wierzchołka stożka o promieniu podstawy R i wysokości h należy poprowadzić płaszczyznę sieczną równoległą do podstawy stożka, żeby jego powierzchnia boczna podzieliła się w stosunku m : n?

35. Obliczyć pole powierzchni bocznej i objętość stożka ściętego, jeżeli promienie podstaw mają długość 12 cm i 20 cm, a tworząca l = 25 cm.

36. Obliczyć pole powierzchni bocznej i objętość stożka ściętego, jeżeli promienie podstaw mają długość 3 cm i 1,5 cm, a wysokość h = 4,5 cm.

37. Rozwinąć na płaszczyźnie powierzchnię boczną stożka ściętego i obliczyć jej pole w zależności od promieni podstaw stożka i jej tworzącej.

(38-42). Obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość bryły powstałej z obrotu wielokąta foremnego o boku długości a, dokoła boku:

38. trójkąta,

39. kwadratu,

40. sześciokąta,

41. ośmiokąta,

42. dziesięciokąta.

43. Wielokąt foremny wpisany w koło o promieniu R obraca się dokoła osi położonej w jego płaszczyźnie, przechodzącej przez jeden z wierzchołków i prostopadłej do średnicy koła.

Obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość bryły, powstałej z tego obrotu dla każdego z wielokątów wymienionych w zadaniach (38-42).

44. Jak znaleźć najmniejszą i największą odległość punktu od powierzchni kulistej?

45. Kulę przeciąć płaszczyzną w taki sposób, żeby w przekroju otrzymać koło o promieniu a.

46. Przez punkt na powierzchni kulistej poprowadzić płaszczyznę do niej styczną.

47. Poprowadzić prostą styczną do kuli równoległą do danej prostej.

48. Promieniem a opisać powierzchnię kulistą, która będzie przechodziła przez dane trzy punkty.

49. Promieniem a opisać powierzchnię kulistą, która ma być styczną do płaszczyzny danej w danym na niej punkcie.

(50-51). Znaleźć miejsce geometryczne środków kul opisanych promieniem a i stycznych do:

50. danej płaszczyzny.

51. danej prostej.

52. Znaleźć miejsce geometryczne środków kul stycznych do

a) dwóch prostych,

b) trzech prostych,

c) dwóch płaszczyzn,

d) kuli w punkcie danym na niej.

53. Udowodnić, że na każdym z wielościanów foremnych można opisać kulę, oraz w każdy wielościan foremny można wpisać kulę.

54. Obliczyć promień kuli opisanej na każdym z wielościanów foremnych, oraz promień kuli wpisanej.

55. Kulę o promieniu R przecięto płaszczyzną w odległości a od środka kuli. Obliczyć pole przekroju.

56. Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli o promieniu R = 15 cm.

57. Co się stanie z powierzchnią kuli, jeżeli jej promień powiększymy m razy?

58. O ile należy powiększyć promień kuli, żeby jej powierzchnia powiększyła się m razy?

59. Obliczyć pole powierzchni kuli, jeżeli łuk koła wielkiego, wyznaczony przez kąt środkowy 60o, ma długość 12 m?

60. Jaką długość ma łuk równoleżnika kuli ziemskiej wyznaczony przez kąt 1o pod 52o północnej szerokości geograficznej?

61. Obliczyć objętość kuli, w której okrąg koła wielkiego ma długość a.

62. Co się stanie z objętością kuli, jeżeli jej promień zmniejszymy o a?

63. Objętość odcinka kulistego jest równa V, a wysokość h. Obliczyć promień kuli, do której należy ten wycinek.

64. W kuli poprowadzono z jednej strony jej środka dwie równoległe płaszczyzny: jedną w odległości a, drugą w odległości b od środka. Obliczyć objętość warstwy kulistej.

65. Obliczyć objętość odcinka kulistego o wysokości 24 cm i promieniu podstawy 3 cm.

66. W kuli o promieniu R poprowadzono płaszczyznę, która podzieliła powierzchnię kulistą w stosunku m : n. Obliczyć objętość otrzymanych odcinków kulistych.

67. W kulę o promieniu R wpisano ostrosłup foremny w taki sposób, że jego wierzchołek leży na powierzchni kulistej, a wysokość przechodzi przez środek kuli. Mając krawędź boczną b tego ostrosłupa, obliczyć jego objętość, wiedząc, że jego podstawą jest:

a) trójkąt równoboczny,

b) kwadrat,

c) sześciokąt foremny.

68. W ostrosłup foremny wpisać kulę styczną do jego podstawy i do ścian bocznych.

69. Trójkąt równoramienny o podstawie 6 cm, a ramionach długości 5 cm obraca się dokoła osi przechodzącej przez wierzchołek trójkąta i równoległej do jego podstawy. Obliczyć pole powierzchni i objętość bryły powstałej w wyniku tego obrotu.

70. Prostokąt o bokach a i b obraca się dokoła osi położonej na zewnątrz niego i poprowadzonej równolegle do boku b w odległości d od niego. Udowodnić, że objętość bryły powstałej w wyniku tego obrotu jest równa iloczynowi pola prostokąta i długości okręgu, który opisuje punkt przecięcia przekątnych prostokąta.

71. Na średnicy półkola wystawiono prostokąt opisany i poprowadzono w nim przekątną. Udowodnić, że z obrotu trzech figur: trójkąta, półkola i prostokąta dokoła średnicy powstają trzy bryły, których objętości są w stosunku 1 : 2 : 3.

72. Na kole opisano kwadrat i trójkąt równoboczny, którego podstawa leży na podstawie kwadratu. Cała figura obraca się dokoła wysokości trójkąta. Znaleźć stosunek pól powierzchni całkowitych oraz stosunek objętości trzech brył powstałych z tego obrotu.

Wykazać, że pole powierzchni oraz objętość bryły powstałej z obrotu kwadratu, jest wielkością średnią proporcjonalną między dwiema pozostałymi wielkościami.

73. Dolna podstawa walca jest podstawą stożka, którego wierzchołek leży w środku podstawy górnej walca, górna zaś jego podstawa jest podstawą stożka, którego wierzchołek leży w środku podstawy dolnej. Obliczyć długość okręgu koła, które powstaje w wyniku przecięcia się powierzchni obu stożków.

74. W naczynie stożkowe, umocowane pionowo i zwrócone wierzchołkiem na dół, nalano wody do wysokości a. Następnie wrzucono w to naczynie kulę żelazną o promieniu r, która całkowicie zanurzyła się w wodzie. Do jakiej wysokości podniósł się poziom wody? Promień podstawy stożka ma długość R, a wysokość h.

75. Jaką część powierzchni kuli ziemskiej widzi lotnik z wysokości a metrów?



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach