Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Astronomia  
 Jesteś tutaj
nowinka:
LOGARYTMY KEPLERA
autor:
Jarosław Włodarczyk
z dnia:
27-12-2001





LOGARYTMY KEPLERA
Pierwsze opublikowane tablice logarytmów, zestawione przez Szkota Johna Napiera (Nepera) (1550-1617), ukazały się w 1614 r. jako Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Opis przedziwnej tablicy logarytmów). Informacje o zasadzie obliczania logarytmów Napiera zostały opublikowane już po jego śmierci, w 1619 r. (o Napierze i propagatorze jego logarytmów, Henry Briggsie, można przeczytać w Człowieku, który spopularyzował logarytmy). Z korespondencji Keplera wynika, że zaczął on pracować nad własną wersją logarytmów pod koniec 1618 r., skończył zaś w 1620 r. W 1624 r. ukazały się tablice logarytmów Keplera - Chilias logarithmorum - a rok później Supplementum chiliadis logarithmorum, wyjaśniające ich teorię i zasady obliczania.

Logarytmy Keplera różniły się od logarytmów Napiera, można by rzec, rodowodem. Te drugie miały proweniencję geometryczną, podczas gdy te pierwsze - czysto algebraiczną. Żadne nie odpowiadały logarytmom dobrze nam znanym ze szkoły.

Oto w jaki sposób Kepler skonstruował swoje logarytmy:

Weźmy dwie liczby aM, takie że a > 0 i a < M.

Utwórzmy ciąg średnich geometrycznych y1, y2, ... , ym-1, taki że

a:ym-1 = ym-1:ym-2 = ... = y2:y1 = y1:M = p.

Wówczas

pm = a/Mp = (a/M)1/m

oraz

y1 = Mp, y2 = Mp2, ... , ym-1 = Mpm-1 - ciąg geometryczny.

Niech p = 1-1/q, wówczas

yn = M (1-1/q)n.

Oznaczmy M-y1 = r i nazwijmy miarą stosunku y1:M.

Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że r jest miarą pozostałych stosunków. Przyjmijmy, że miara iloczynu dwóch stosunków jest sumą miar tych stosunków. Stąd miara stosunku yn:M wynosi nr. Miary tworzą ciąg arytmetyczny. Kepler zdefiniował miarę jako logarytm, czyli logarytm y1 to miara stosunku y1:M:

logKy1 = M-y1 = M(1-p) = M/q

i ogólnie

logKyn = (nM)/q.

Związek logarytmów Keplera z logarytmami Napiera można przedstawić tak:

logKx = logNax + 3,94(ln107/x),

a związek logarytmów Keplera z logarytmami naturalnymi:

logKx = 105 ln(105/x).

30 września 1624 r. Wilhelm Schickard, przyjaciel Keplera i konstruktor maszyny arytmometrycznej mającej ułatwiać obliczanie logarytmów, pisał w liście do astronoma:

"Cieszę się, że stały się one [logarytmy] dostępne dla każdego, i gratuluję sobie, iż posiadam tak wspaniałe narzędzie do obliczeń. Będą użyteczne także w innych obliczeniach, gdyż obejmują liczby od 1 do 1000. Z tego powodu wolę je od logarytmów Napiera. Niemniej prawda jest taka, że w trygonometrii będę raczej używał tablic Napiera, bo dla sinusów podają wartości co minutę, podczas gdy w Twoich tablicach muszę szukać części proporcjonalnych, co jest dość czasochłonne i niewygodne, kiedy się śpieszę".

Jarosław Włodarczyk
[  << powrót...  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach