Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 20-06-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Łowcy baniek mydlanych
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
20-06-2000





Łowcy baniek mydlanych
To, co istnieje, zazwyczaj bywa ciekawsze od tego, co nie istnieje (nawiasem mówiąc, wielu matematyków żyje z dowodzenia, że to lub owo istnieć nie może, ale to inna sprawa). W nowince "Koniec nauki, koniec dowodów?" można przeczytać o nieistniejącej powierzchni minimalnej tzw. powierzchni Horgana. Bliską koleżanką powierzchni Horgana jest powierzchnia Costy - obiekt jak najbardziej realny i istniejący, który ma dość ciekawą historię.

Przez ponad 200 lat, począwszy od osiemnastowiecznych badań Leonarda Eulera i Josepha Louisa de Lagrange'a, jedynymi znanymi zanurzonymi zupełnymi powierzchniami minimalnymi skończonego genusu były płaszczyzna, helikoida i katenoida.

Dla niewtajemniczonych: termin "zanurzona" oznacza, intuicyjnie mówiąc, że powierzchnię można umieścić w przestrzeni trójwymiarowej tak, by była pozbawiona samoprzecięć, tzn. tak, ażby na jej przekrojach widać było wyłącznie krzywe bez ostrych dziobków i skrzyżowań, a nie np. fragmenty przypominające literę X czy Y. Natomiast powierzchnia zupełna to taka, która nie ma żadnych dziurek; gdyby inteligentne mrówki potrafiły po niej podróżować wodolotem "prosto jak w pysk strzelił", stale przed siebie, to - niczym nieśmiertelny Fileas Fogg - mogłyby w dowolnym kierunku wędrować nieskończenie długo, nie trafiając nigdy w żadną dziurę czy otchłań. Wreszcie genus (powierzchni pozbawionej brzegu) to "liczba dziur na wylot". Powierzchnia sfery ma genus równy 0, powierzchnia torusa, czyli dętki rowerowej, ma genus równy 1, powierzchnia grubej ósemki zrobionej z plasteliny - genus 2 itd. Powierzchnie nieskończonego genusu to straszliwe dziwolągi: proszę np. wyobrazić sobie drabinę o nieskończenie wielu szczeblach (drabinę Jakubową?) i pomyśleć o jej powierzchni - ma ona nieskończony genus.

Trzy przykłady to niewiele jak na dwa wieki kolektywnej pracy... W 1984 r. portugalski matematyk C. J. Costa znalazł nową zupełną powierzchnię minimalną, która - w oczach matematyka przynajmniej - wygląda jak bardzo zdeformowana dętka rowerowa, nakłuta w trzech punktach (okolice trzech nakłuć rozciągnięte są nieskończenie daleko):

powiększenie...

Costa nie potrafił jednak wykazać, że jest to powierzchnia zanurzona. Dwaj Amerykanie, D. Hoffman i W. Meeks, wykorzystując algebraiczny opis, który otrzymał Costa, wykonali komputerowe rysunki rozmaitych fragmentów tej powierzchni, obejrzeli starannie ze wszystkich stron - i uwierzyli, że powierzchnia Costy (patrz strona www: http://www.math.uni-bonn.de/ people/weber/research/ minimal/notes/costa/) jest zanurzona. Potem zaś, podbudowani wiarą, starannie ów fakt udowodnili. Był to kamyk, który uruchomił lawinę. Dziś znana jest cała masa innych zanurzonych zupełnych powierzchni minimalnych (niebanalną rolę w ich odkrywaniu - w ścisłym, matematycznym sensie tego słowa - odgrywają komputerowe obrazki (patrz strona www: http://www.math.uni-bonn.de/ people/weber/gallery/), które mogą bawić czy intrygować również absolutnego laika), ale pełnej klasyfikacji takich powierzchni nikt, jak dotąd, podać nie potrafi.



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach