Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 09-08-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Gdzie się kryją liczby pierwsze?
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
09-08-2000





Gdzie się kryją liczby pierwsze?
O położeniu liczb pierwszych wśród innych liczb naturalnych wiadomo stosunkowo niewiele. To, co wiadomo, wiadomo w pewnym sensie tylko z grubsza i w przybliżeniu: na przykład gdzieś między liczbami n i 2n z pewnością tkwi liczba pierwsza (Czebyszew, 1850), a wśród liczb 1, 2, 3, ..., n jest - w przybliżeniu i dla dużych n - około liczb pierwszych (Hadamard i de la Vallée-Poussin, 1896). Nie ma natomiast rozsądnych wzorów, które pozwalałyby bezboleśnie znajdować kolejne liczby pierwsze. Sprawdzanie, czy wielocyfrowa liczba jest pierwsza, czy nie, to zajęcie długotrwałe, pracochłonne i żmudne. Z tego powodu - a ostatnio także z uwagi na związki teorii liczb z kryptografią (patrz nowinka: Kwanty, szyfry, algorytmy i nagrody) - wszelkie twierdzenia dające dodatkowe informacje o rozmieszczeniu liczb pierwszych są przez matematyków uznawane za bardzo ciekawe.

Przed czterema laty John Friedlander i Henryk Iwaniec (polski matematyk, pracujący od lat w USA) udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które można przedstawić w postaci sumy kwadratu pewnej liczby naturalnej i czwartej potęgi innej liczby naturalnej. Nieskończenie wielu przykładów podać się nie da, poprzestańmy więc na dwóch:
41 = 52 + 24, 97 = 42 + 34 . Twierdzenie brzmi prosto i naiwnie, ale - jak to w teorii liczb bywa - dowód ma długi i wyrafinowany. Wypada też dodać, że lista innych wyników tego typu jest krótka, nazwiska autorów - sławne i znane, a o nowości w tej dziedzinie niełatwo.

Ponad 300 lat temu Fermat wykazał, że każdą liczbę pierwszą, która z dzielenia przez 4 daje resztę równą 1, można zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb pierwszych. (Jeśli liczba pierwsza daje z dzielenia przez 4 resztę równą 3, to oczywiście nie jest sumą dwóch kwadratów. Dlaczego? Otóż kwadrat liczby naturalnej daje z dzielenia przez cztery resztę równą 0 lub 1, więc dodając dwa kwadraty zawsze otrzymamy liczbę, która z dzielenia przez 4 daje resztę 0, 1 lub 2 - o trójce nie ma mowy). W XIX w., dzięki pracom Lagrange'a i Gaussa, okazało się, że twierdzenie Fermata jest szczególnym przypadkiem innego twierdzenia, które w nieco bardziej zawiły sposób pozwala scharakteryzować liczby pierwsze, pojawiające się wśród wartości wielomianów dwóch zmiennych W (m,n) = am2 + bm2 + cn2 (zarówno zmienne m, n, jak i współczynniki a, bc są liczbami całkowitymi). Również w XIX wieku Dirichlet wykazał, że jeśli abwzględnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym o wyrazach a, a + b, a + 2b, a + 3b, ... występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. I to, jak mówił Jan Stanisławski, by było na tyle.

Specjaliści wierzą, że każdy wielomian zmiennych całkowitych o współczynnikach całkowitych, który spełnia pewne stosunkowo oczywiste warunki konieczne (na przykład: nie jest iloczynem dwóch innych wielomianów o współczynnikach całkowitych, nie ma wszystkich współczynników podzielnych przez 3 itd.), ma wśród swoich wartości nieskończenie wiele liczb pierwszych. Twierdzenie Friedlandera i Iwańca jest kroczkiem na drodze do zmiany owej wiary w popartą dowodami pewność.

Na marginesie wspomnijmy, że krótka notka Friedlandera i Iwańca, anonsująca w "Proceedings of the National Academy of Sciences" ich twierdzenie, cytuje tylko cztery inne prace: Iwańca z 1973 r., Bombieriego z 1976 r., Fouvry'ego i Iwańca z 1997 r. oraz Heckego z 1920 r. Ten Hecke to wcale nie rekord. W poważnych pracach na temat matematyki rządzącej kształtem swobodnej powierzchni cieczy w naczyniach umieszczonych w próżni, co skądinąd wiąże się z problemem transportu paliwa do silników statków kosmicznych, na porządku dziennym są cytowania sięgające w pierwszą połowę XIX w. Proszę pomyśleć - czy w biologii, chemii, a nawet fizyce ktoś poważny może czuć się zmuszony do cytowania artykułów (biolog, chemik czy fizyk powiedzieliby pewnie: ramot) sprzed osiemdziesięciu lat?



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach