Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 14-08-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Do nieskończoności w skończonym czasie
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
14-08-2000





Do nieskończoności w skończonym czasie
Czy Układ Słoneczny - lub jakiś inny system planetarny - może pewnego pięknego dnia rozpaść się i rozlecieć na wszystkie strony?
Czy - wyłącznie pod wpływem prawa powszechnego ciążenia i nieszczęśliwej początkowej konfiguracji położeń i prędkości - planety mogą nagle zacząć przyspieszać i z szaleńczą prędkością oddalać się od siebie na nieskończoną odległość? (Zapomnijmy o wszelkich współczesnych rozważaniach na temat kształtu Wszechświata, zapomnijmy też o teorii względności, która zakazuje komukolwiek i czemukolwiek poruszać się szybciej od światła. Do dyspozycji jest wyłącznie fizyka z czasów Newtona, a Wszechświat to stara, dobra, trójwymiarowa przestrzeń Euklidesowa).

Postawione tutaj pytanie to uproszczona wersja problemu Painlevégo, sformułowanego w 1895 r. Dany jest układ n punktów materialnych, których ruchem rządzi prawo grawitacji Newtona. Pytamy, czy odległość pewnej pary tych punktów może - w skończonym czasie! - rosnąć nieograniczenie (i zakładamy jednocześnie, że w układzie nie dochodzi wcześniej do zderzeń). Na pozór wydaje się to niemożliwe: ucieczka do nieskończoności w skończonym czasie wymaga rosnącej bez końca prędkości, czyli nieograniczonej energii kinetycznej, a mamy przecież prawo zachowania energii! Proszę jednak uzmysłowić sobie, że prawo zachowania energii orzeka jedynie, iż wszelka zmiana energii kinetycznej jest możliwa wyłącznie kosztem energii potencjalnej. I wtedy sprawa przestanie być jasna, tym bardziej że energia potencjalna układu n punktów materialnych dąży do minus nieskończoności, gdy odległość którejkolwiek pary tych punktów zmierza do zera.

Zmagania z problemem Painlevégo trwaly sto lat. Dziś wiadomo, że takie zachowanie n ciał jest możliwe, choć wydaje się to mieć niewiele wspólnego ze zdrowym rozsądkiem. Przed ośmiu laty Zihong Xia opublikował w prestiżowym czasopiśmie "Annals of Mathematics" pięćdziesięcioparostronicową pracę, z której wynika, że dla każdego można tak dobrać masy punktów materialnych oraz ich początkowe położenia i prędkości, by w skończonym czasie doszło do wyżej opisanej katastrofalnej ucieczki. Co więcej, zasadnicza idea konstrukcji jest dla n = 5 stosunkowo prosta. Wyobraźmy sobie dwie gwiazdy podwójne, krążące w dwóch równoległych, oddalających się płaszczyznach i jako piąte ciało niewielki wahadłowiec, oscylujący coraz szybciej między jedną płaszczyzną i drugą. Przy każdym zbliżeniu wahadłowca do którejś pary gwiazd jesteśmy o włos od potrójnego zderzenia; wskutek tego wahadłowiec ogromnie przyspiesza (i owa para gwiazd też). Taka sytuacja powtarza się wielokrotnie, w coraz krótszych odstępach czasu; reszta dowodu to - jak mówią bezczelni - pewna liczba rozmaitych szczegółów technicznych.

Zbliżony efekt - nagłego, nieoczekiwanego przyspieszenia - można zaobserwować w prostym eksperymencie: proszę z wysokości około 1,5 m upuścić na twarde podłoże piłkę do koszykówki i umieszczoną tuż nad nią piłkę tenisową lub golfową (środki obu piłek powinny znajdować się na tej samej pionowej linii, a ich powierzchnie - niemal się dotykać). Mała piłeczka odbije się wtedy nie od nieruchomego podłoża, ale od dużej, masywnej piłki, która przed chwilką sama odbiła się od podłoża i właśnie wędruje do góry z dość znaczną prędkością. Co się stanie? Kto pamięta szkolną wiedzę o zderzeniach sprężystych, odpowie szybko sam, innych zachęcam do przeprowadzenia eksperymentu (zdecydowanie odradzam jednak doświadczenia w pomieszczeniach zamkniętych, w pobliżu szyb, wazonów, monitorów itd. - efekty są naprawdę zdumiewające).

Oczywiście, wynik Xia nie ma znaczenia praktycznego. Po pierwsze, teoria względności zakazuje ucieczki do nieskończoności w skończonym czasie. Po drugie, udowodniono ostatnio, że nawet w świecie rządzonym wyłącznie fizyką Newtona trafienie na odpowiednią początkową konfigurację położeń i prędkości ciał jest zasadniczo całkowicie nieprawdopodobne. Warunki początkowe, które umożliwiają katastrofalną ucieczkę opisaną przez Xia, stanowią znikomy, zaniedbywalnie mały podzbiór wszystkich możliwych warunków początkowych; określenie "kropla w morzu" jest jak najbardziej właściwe.

Mimo to są co najmniej trzy powody, dla których warto o sprawie wspomnieć: (a) zaskakujący, bardzo daleki od naiwnej intuicji sens twierdzenia; (b) fakt, że stosunkowo proste pytanie, wywołujące - nie tylko u laików - okrzyki w rodzaju: "Co za bzdura! To niemożliwe!", oczekiwało sto lat na odpowiedź; (c) to, że klasyczne zagadnienie n ciał wciąż kryje w sobie masę zagadek. Nie wiadomo na przykład, czy istnieje taki dobór mas n ciał, który - niezależnie od początkowych położeń i prędkości - uniemożliwia ucieczkę do nieskończoności. Nie wiadomo też, czy taka katastrofa jest możliwa w układzie czterech ciał.



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach