Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 17-08-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Podziały
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
17-08-2000





Podziały
Badanie podziałów liczby naturalnej to jedno z najsłynniejszych zagadnień z pogranicza kombinatoryki i teorii liczb.
Ostatnio można o nim usłyszeć wiele z uwagi na nowe, zaskakujące twierdzenia, które udowodnił Ken Ono z Uniwersytetu w Madison w stanie Wisconsin. Zacznijmy jednak nie od nowości, ale od początku.

Podziały liczby naturalnej to wszystkie sposoby przedstawienia tej liczby w postaci sumy składników całkowitych dodatnich (umawiamy się przy tym, że porządek składników nie gra roli, i dopuszczamy sumy zawierające tylko jeden składnik). Na przykład czwórka ma pięć podziałów: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2, 1 + 3 i wreszcie 4. Liczbę wszystkich podziałów n oznacza się tradycyjnie symbolem p(n); piszemy więc p (4) = 5. Nietrudno sprawdzić, że p(5) = 7, a p(6) = 11. Wartości p(n) rosną bardzo szybko, na przykład p(100) = 190569292, a p(1000) to straszliwa liczba 24061467864032622473692149727991. Nie ma żadnego prostego wzoru, który pozwalałby wyznaczyć p(n), gdy znamy n. To przykry fakt, który utrudnia życie nie tylko matematykom: podziały wykorzystywane są również w fizyce cząstek elementarnych.

Ponad 80 lat temu hinduski matematyk Srinivasa Ramanujan, genialny samouk i wizjoner (gdy piszę genialny, mam na myśli kogoś, kto obliczenia prowadzi z taką przenikliwością, która przeciętnego zawodowego matematyka stawia w okolicach krnąbrnego ucznia młodszych klas podstawówki), współpracownik G. H. Hardy'ego, zauważył, że począwszy od czwórki każda co piąta liczba ma liczbę podziałów podzielną przez 5, począwszy od piątki każda co siódma liczba ma liczbę podziałów podzielną przez 7, a począwszy od szóstki każda co jedenasta liczba ma liczbę podziałów podzielną przez 11. Zauważył to, oglądając tablicę wartości p(n) dla n mniejszych od 200. Potem zaś udowodnił, że to ogólna prawidłowość, a nie tylko dziwny przypadek. A zatem dla każdej liczby naturalnej n liczba p(5n - 1) jest podzielna przez 5, liczba p(7n - 1) jest podzielna przez 7, a liczba p(11n - 5) dzieli się przez 11. Komentując to twierdzenie, Ramanujan napisał w "Proceedings of the London Mathematical Society" z 1919 r., że inne, równie proste relacje tego typu nie istnieją, lub - w najlepszym razie - są bardzo rzadkie. Przez wiele lat wydawało się, że miał rację.

W styczniowym numerze "Annals of Mathematics" z 2000 r. Ken Ono opublikował pracę, z której wynika, że sławny Hindus jednak racji nie miał. Podobnych relacji można znaleźć nieskończenie wiele. Twierdzenie Ono, uzyskane w pewnym sensie bardzo okrężną drogą, dzięki niezwykle zaawansowanym metodom współczesnej teorii liczb (m.in. z wykorzystaniem tzw. form modułowych, które stanowiły kluczowe narzędzie w dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata), rozstrzyga także jedną z hipotez postawionych przez Erdõsa: dla każdej liczby pierwszej q istnieje liczba naturalna n, której liczba podziałów p(n) jest podzielna przez q. (Tropy Erdõsa odnaleźć można w okolicach nieomal każdego ciekawego problemu współczesnej kombinatoryki i teorii liczb - proszę sprawdzić za pomocą Szukacza, ile razy zbitka znaków Erd* występuje na stronach Wirtualnego Wszechświata).

Dowód Ono to typowy przykład dowodu niekonstruktywnego: dowodzimy, że coś istnieje, ale nie potrafimy tego czegoś pokazać palcem. Ono podał tylko jeden konkretny przykład związku podobnego do tych, które przed 80 laty znalazł Ramanujan.

Dziś jednak, za sprawą młodziutkiej Rhiannon Weaver z Uniwersytetu Stanowego w Pennsylwanii, studiującej równolegle matematykę i informatykę, wiadomo dużo więcej. Dziewczyna, startując niemal od zera, nauczyła się tego, co w kwestii podziałów zrobił Ramanujan, przeczytała starannie pracę Ono, podumała trochę nad kartką papieru, wpadła na to, jak szukać innych przykładów, a potem napisała zręczny program komputerowy, który mógłby wyręczać ją w zawiłych obliczeniach. Po dwóch dniach od chwili uruchomienia programu wiedziała na przykład, że dla każdego n liczba p(14375n + 3474) jest podzielna przez 23. Co więcej, znała też 70361 innych przykładów twierdzeń tego typu. Jej praca ukaże się wkrótce - gdzieżby indziej? - w "Ramanujan Journal".

Jak podaje uniwersytecka gazeta "The Penn Stater" z lipca/sierpnia 2000 r., Rhiannon Weaver zamierza robić doktorat nie z kombinatoryki, nie z teorii liczb, nie z teoretycznej informatyki wreszcie, ale ze statystyki. Ken Ono, który wysoko ceni jej osiągnięcia ("Penn Staterowi" oświadczył, że gdyby sam wcześniej potrafił zrobić to, co zrobiła ona, to by zrobił - w ustach matematyka jest to jedna z najwyższych możliwych pochwał), podobno ciężko z tego powodu wzdycha...



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach