Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 21-08-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Najsłynniejsza funkcja świata
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
21-08-2000





Najsłynniejsza funkcja świata
Nie mamy na myśli funkcji kwadratowej, sinusa czy cosinusa. Chodzi o funkcję dzeta Riemanna, która dla liczb s > 1 określona jest wzorem

,

tzn. jest sumą odwrotności s -tych potęg wszystkich liczb naturalnych. Najważniejsze pytania dotyczące tej funkcji wciąż pozostają bez odpowiedzi, lecz od paru tygodni wiadomo o niej coś nowego.

Dzeta (jej nazwa pochodzi od greckiej litery ) jest bohaterką najsławniejszego nierozwiązanego problemu współczesnej matematyki, tzw. hipotezy Riemanna. Głosi ona, że wszystkie ciekawe rozwiązania równania w zbiorze liczb zespolonych (czyli miejsca zerowe funkcji dzeta) położone są na jednej prostej. Brzmi to sucho i abstrakcyjnie, ale rzecz ma bardzo głębokie związki ze współczesną teorią liczb, w szczególności z rozkładem liczb pierwszych. Bernhard Riemann sformułował swą hipotezę w 1859 r. Po upływie 140 lat, mimo wielu wysiłków licznych matematyków, dysponujemy tylko pewną liczbą poszlak, świadczących o jej prawdziwości. Dowodu jak nie było, tak nie ma...

W ostatnich dziesięciu latach dzetą Riemanna zainteresowali się również fizycy: okazuje się, z grubsza mówiąc, że ze statystycznego punktu widzenia rozkład iluś tam milionów znanych ciekawych miejsc zerowych funkcji jest właściwie taki sam, jak pewne rozkłady prawdopodobieństwa, badane z zupełnie innych przyczyn w mechanice statystycznej układów bardzo wielu cząstek elementarnych. Odległość od tych fragmentów fizyki do pytań matematyki teoretycznej, tradycyjnie wiązanych z dzetą Riemanna, mierzyć można w latach świetlnych, więc spostrzeżone związki budzą ciekawość: czy to przypadek, czy może wskazówka, gdzie należy próbować szukać klucza do tajemnicy? Ostatnio Instytut Claya umieścił hipotezę Riemanna na swej liście siedmiu matematycznych problemów tysiąclecia. (Patrz nowinka Milion za twoje myśli. Więcej przystępnie podanych informacji o związkach dzety Riemanna z liczbami pierwszymi można znaleźć w eseju Liczby pierwsze, czyli chaos czy porządek Krzysztofa Ciesielskiego i Zdzisława Pogody. Osoby poważniej zainteresowane ścisłym sformułowaniem hipotezy Riemanna i jej historią powinny zajrzeć do przeglądowego artykułu Enrico Bombieriego, dostępnego w formacie PDF na stronach Instytutu Claya: http://www.claymath. org/prize_problems /riemann.htm).

Dzeta jest funkcją stosunkowo tajemniczą. Trudną rzeczą jest nawet obliczanie jej wartości, czyli to, co odruchowo chciałby zrobić każdy, spotykając nową funkcję. (Proszę sięgnąć do własnych - dawnych lub niedawnych - doświadczeń szkolnych: Funkcja? To znaczy robimy tabelkę wartości i szkicujemy wykres). Wartości w punktach 2, 4, 6, 8, 10, 12 itd. umiano obliczać już w XVIII w., na długo przed sformułowaniem hipotezy Riemanna i wykryciem związków z liczbami pierwszymi. Na przykład, liczba , czyli suma kwadratów odwrotności wszystkich liczb naturalnych, jest równa . Nie jest to rzecz banalna, lecz - z dzisiejszego punktu widzenia - również nieszczególnie trudna. Po odpowiedniej redakcji treści i doborze wskazówek można obliczenia wartości w punktach parzystych zamienić w pracę domową dla studentów pierwszego czy drugiego roku studiów matematycznych.

Zupełnie inaczej wygląda sprawa wartości Riemanna dla argumentów nieparzystych. Wiadomo o nich bardzo niewiele (do niedawna właściwsze byłoby stwierdzenie: nie wiadomo o nich prawie nic). Wszelkie metody stosowane do obliczania wartości , , itd. zawodzą na całej linii. W 1979 r. francuski matematyk Apéry wykazał, że jest liczbą niewymierną. Zrobił to w sposób pomysłowy, niebywale zręczny i zasadniczo całkowicie niezrozumiały: prześledzenie kolejnych kroków dowodu nie pozwala zrozumieć, skąd wziął się cały jego pomysł - i co trzeba byłoby w nim zmienić, żeby móc zastosować go do uzyskania jakichkolwiek informacji o liczbach , , ... Do niedawna twierdzenie Apéry'ego było właściwie jedyną informacją na temat wartości dzety Riemanna w punktach nieparzystych.

Wiosną tego roku inny francuski matematyk, T. Rivoal z Caen, udowodnił, że wśród liczb , , , itd. jest nieskończenie wiele liczb niewymiernych. Jego dowód nie pozwala jednak wskazać żadnej z tych liczb, gdyż swoje twierdzenie Rivoal uzyskał jako wniosek z innego, trudniejszego do wysłowienia i mającego "szufladkowy charakter": jeśli wiemy, że w 10 szufladach jest 11 teczek, to możemy być pewni, że w pewnej szufladzie są dwie teczki - choć bez otwierania szuflad nie wiemy, w której..



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach