Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 15-09-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Podwójna bańka
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
15-09-2000





Podwójna bańka
Ile czasu potrzebują matematycy, by udowodnić coś, co wszyscy i tak wiedzą? Bywa, że nieoczekiwanie dużo. Oto przykład.

Jaki kształt powinny mieć dwie najzwyklejsze - ale połączone! - bańki mydlane? Każdy, kto choć raz w życiu dmuchał bańki, wie, jaką odpowiedź podsuwa doświadczenie. Złączone bańki mydlane zawsze wyglądają jak dwie sferyczne czasze, oddzielone przegrodą, która albo jest płaska, albo, podobnie jak bańki, też ma kształt sferycznej czaszy. Przegroda jest płaska tylko wtedy, gdy każda z dwóch baniek zawiera tyle samo powietrza. Uważni obserwatorzy eksperymentów - do których należy z pewnością zaliczyć dziewiętnastowiecznego belgijskiego matematyka i fizyka, Josepha Antoine'a Ferdinanda Plateau - wiedzą też, że powierzchnie obu baniek i przegrody spotykają się, tworząc kąty 120 stopni, a odwrotność promienia mniejszej bańki jest sumą dwóch odwrotności: promienia przegrody i promienia większej bańki (w szczególnym przypadku, gdy przegroda jest płaska, umawiamy się, że jej promień jest nieskończony, a jego odwrotność - równa zeru).

Pytanie o kształt podwójnej bańki ma, oczywiście, swoją czysto matematyczną wersję. Dane są dwie liczby dodatnie, V1V2. Rozważamy obszary przestrzeni, złożone z dwóch (oddzielonych przegrodą) części o ustalonych objętościach, równych właśnie V1V2. Który z nich ma możliwie najmniejsze pole powierzchni brzegu (należy uwzględnić przegrodę)?

Wynik eksperymentu, choćby i powtarzanego tysiące razy, nie jest dla matematyka dowodem. Aby potwierdzić słuszność spostrzeżeń Plateau, trzeba było ponad 120 lat, a ostateczna odpowiedź, którą uzyskali wspólnie panowie Michael Hutchings, Frank Morgan, Manuel Ritore i Antonio Ros, została opublikowana dopiero w tym roku, przed dwoma miesiącami. Oczywiście, sporo udowodniono wcześniej. Wiadomo było m.in., że:

- rozwiązanie istnieje (co skądinąd wcale nie jest oczywiste; wykazał to Frederick Almgren w 1976 r., ponad 100 lat po ukazaniu się dzieła Plateau, zatytułowanego "Statyka doświadczalna i teoretyczna cieczy poddanych wyłącznie działaniu sił molekularnych");

- powierzchnie ograniczające poszczególne komory podwójnej bańki spotykają się, tworząc kąty 120 stopni (Jean Taylor, 1976 r.);

- rozwiązaniem jest kształt, który ma oś obrotu (Joel Foisy, 1991 r.).

Ostatnia trudność, pokonana przez wspomnianą czwórkę autorów, polegała na tym, by wykluczyć z rozważań takie sytuacje, w których jedna z baniek rozpada się na kolejne, mniejsze bańki - nie było bowiem wiadomo, czy podział jednej z komór na mniejsze, sprytnie połączone części (patrz rysunki) nie pozwala przypadkiem zmniejszyć łącznego pola powierzchni błony mydlanej. Po prawie 130 latach matematycy są więc już przekonani, że w kwestii dwóch baniek Plateau istotnie się nie mylił...

Po lewej: rozwiązanie problemu podwójnej bańki. Po prawej: jeden z kształtów, które należało wykluczyć z rozważań. Mniejsza bańka składa się z dwóch części; jedna z tych części ma kształt opasującej całą bryłę cieniutkiej dętki rowerowej.
Grafika komputerowa: © John M. Sullivan, Uniwersytet Illinois (inne ciekawe obrazki matematyczne tego samego autora można znaleźć na stronie www: http://www.math.uiuc.edu/ ~jms/ Images/).
Jak to zwykle w matematyce bywa, rozwiązanie jednego problemu dostarcza nowych pytań. Na początek: jaki kształt powinny przybierać trzy sklejone bańki mydlane? Cztery? Więcej baniek? Nawet w szczególnym przypadku, gdy wszystkie bańki mają równe objętości, odpowiedź (poparta dowodem, a nie tylko doświadczeniem) nie jest znana.



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach