Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 18-09-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Hipoteza Keplera, czyli jak układać pomarańcze
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
18-09-2000





Hipoteza Keplera, czyli jak układać pomarańcze
Do najsłynniejszych problemów matematycznych należy hipoteza Keplera, opisana w... broszurze o płatkach śniegu. To kolejna interesująca matematyczna zagadka, która doczekała się rozwiązania dopiero u schyłku XX w. Została bowiem sformułowana przez Johannesa Keplera już w 1611 r.

Wedle owej hipotezy, najgęstszym z możliwych ułożeń jednakowych kul w przestrzeni trójwymiarowej jest upakowanie, które można zauważyć w stoisku owocowo-warzywnym dużego supermarketu: pomarańcze w najniższej warstwie układa się tak, by odcinki łączące ich środki tworzyły sieć jednakowych trójkątów równobocznych. Na to nakłada się drugą warstwę, umieszczając owoce w zagłębieniach pierwszej, i tak dalej. Powstaje efektowna piramida kul; każda pomarańcza, która znajduje się w środku, ma 12 sąsiadek. Intuicja podpowiada, że jednakowych kul gęściej układać się nie da.

Piramida gęsto upakowanych kul i fragment jej wnętrza: jednej kuli dotyka jednocześnie dwanaście innych, jednakowych kul (to maksymalna możliwa liczba).

(Nawiasem mówiąc, geometrię owego najgęstszego upakowania kul można opisywać na wiele sposobów; oto garstka z nich). Każde inne ułożenie jednakowych rozłącznych kul w przestrzeni ma gęstość co najwyżej taką, jak optymalna piramida pomarańczy. Innymi słowy, jeśli wielki kontener zapełniamy piłeczkami ping-pongowymi, to niezależnie od tego, jak będziemy piłeczki układać: starannie, warstwa po warstwie czy wrzucając garściami byle gdzie i byle jak, objętość pustych przestworów wyniesie przynajmniej 25,951...% objętości całego kontenera. Dziwna liczba 25,951... to . Taki właśnie odsetek wolnej przestrzeni zostaje w regularnym stosie jednakowych kulistych owoców.

Hipoteza Keplera ma długą historię. W 1831 r. Gauss wykazał, że sklepowa piramida pomarańczy jest optymalna, gdy rozważamy jedynie takie upakowania, w których środki kul tworzą regularną siatkę, tak zwaną kratę. Pozostało dowieść, że żadne z nieskończenie wielu ułożeń nieregularnych nie pozwala lepiej wykorzystać przestrzeni. Laik - w szczególności laik przeświadczony o przewadze regularności, symetrii i porządku nad bezładem i chaosem - mógłby uznać, że to już powinno być łatwe. Nic podobnego. Jeszcze przed 20 laty słynny matematyk amerykański John Milnor miał prawo twierdzić, że to skandal, by pytanie tak oczywiste, z odpowiedzią sugerowaną przez Keplera i Gaussa, tak długo pozostawało otwarte.

W 1993 r. w "International Journal of Mathematics" opublikowano stustronicową pracę "O problemie upakowania sfer i dowodzie hipotezy Keplera". Autor, Wu-Yi Hsiang, twierdził, że potrafi hipotezę udowodnić. Zgodny sąd fachowców, wydany po kilku latach dociekań, był jednak bezlitosny: artykuł Hsianga to długa lista pobożnych życzeń, którą w najlepszym razie można uznać za najeżony trudnościami program pracy; niewykluczone, że prowadzący do dowodu hipotezy Keplera. (Pozostaje pytanie o jakość pracy recenzentów i redaktorów "International Journal of Mathematics", ale to inna historia, z socjologii, nie z matematyki).

Rok wcześniej od Hsianga, w "Journal of Computational and Applied Mathematics", Thomas Hales z Uniwersytetu Michigan opisał szczegółowo szkic zupełnie innego rozumowania, które mogłoby stanowić dowód hipotezy Keplera. Przed dwoma laty, w sierpniu 1998 r., Hales ogłosił, że swój program zamienił w dowód, zawarty w siedmiu pracach, zajmujących łącznie 282 strony. Współautorem kilku artykułów jest doktorant Halesa, Samuel Ferguson. Pierwsze dwie prace już ukazały się drukiem.

Dowód Halesa jest wspierany komputerowo: istotna część pracy polega na wielokrotnym rozwiązaniu układów wielu równań liniowych z wieloma niewiadomymi. Oczywiście, mógłby to robić człowiek, ale... niewiadomych jest, z grubsza, dwieście, równań jakieś dwa tysiące, a czynność poszukiwania rozwiązań trzeba powtórzyć około stu tysięcy razy. Stwarza to niewątpliwie okazję do błędów, lecz zespół dwunastu recenzentów, który deliberował nad dowodem Halesa, nie dopatrzył się żadnych usterek. Hipoteza Keplera jest więc dziś, według wszelkich znaków na niebie i ziemi, twierdzeniem - jednym z tych, które mają proste sformułowanie i monstrualny dowód. Być może kiedyś doczekamy się innego jej dowodu, prostszego, czy chociażby takiego, który nie wymaga użycia komputera.



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach