Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 25-09-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Co wiedzą i czego nie wiedzą pszczoły
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
22-09-2000





Co wiedzą i czego nie wiedzą pszczoły
Od dwóch tysięcy lat rozmaici ludzie twierdzą, że sposób konstrukcji plastra miodu jest optymalny. Pszczeli plaster bowiem podzielony jest na jednakowe sześciokąty foremne. Podobno świadczy to o tym, że natura postępuje zgodnie z regułami matematyki. Matematycy są jednak upartymi niedowiarkami. Z tym, że plaster miodu skonstruowany jest optymalnie (i to tylko pod pewnymi względami), zgadzają się dopiero od niedawna.

Przypuśćmy, że płaszczyznę dzielimy na rozłączne komórki o jednakowym polu, równym 1. Komórki mogą być wielokątami, ale wcale nie muszą; mogą mieć powykrzywiane brzegi. Nie muszą być identyczne - w jednym podziale mogą trafiać się zarówno wielokąty o różnej liczbie boków, jak i obszary ograniczone zawiłymi liniami krzywymi. Jednym słowem, hulaj dusza, byle pola komórek były równe.

Ze wszystkich podziałów tego typu chcemy wybrać optymalny, tzn. taki, by obwody komórek były możliwie małe (proszę pomyśleć o pszczołach, oszczędnie gospodarujących woskiem). Ponieważ obwody różnych komórek mogą być rozmaite, nasze żądanie precyzujemy następująco: chodzi o to, by przeciętny obwód komórki podziału był nie większy od pewnej liczby x. Z uwagi na oszczędność zależy nam, by owa liczba była jak najmniejsza.

Gdy np. dzielimy płaszczyznę na identyczne sześciokąty foremne o jednostkowym polu, to .


Wydaje się, że właśnie taki podział jest optymalny, prawda? Jednak jeszcze w zeszłym roku w "Transactions of the American Mathematical Society" Frank Morgan, znany amerykański geometra, pisał "wbrew popularnemu mniemaniu [to pytanie] wciąż jest otwarte". W 1943 r. węgierski matematyk L. Fejes Tóth wykazał, że podział na identyczne sześciokąty jest optymalny, gdy bierzemy pod uwagę tylko te podziały, w których wszystkie komórki są wielokątami wypukłymi. Gdy Frank Morgan pisał przytoczone wyżej słowa, nadal nie było wiadomo, czy przypadkiem nie istnieje jakiś dziwny podział płaszczyzny na lekko powykrzywiane komórki, oszczędniejszy i lepszy od podziału na sześciokąty.

W tymże jednak 1999 r. Thomas Hales (ten sam, który uporał się z problemem najgęstszego upakowania kul w przestrzeni; (patrz nowinka "Hipoteza Keplera, czyli jak układać pomarańcze") wykazał, że podział na sześciokąty istotnie jest optymalny, a korzystanie z komórek o powykrzywianych kształtach wcale nie pomaga oszczędzać na obwodzie. Dowód Halesa nie jest długi; mieści się - wraz z obszernym wstępem - na dwudziestu stronach, które dobry student trzeciego roku matematyki może przeczytać ze zrozumieniem.

Na tym nie koniec historii. Prawdziwy plaster miodu, jak każdy wie, jest tworem trójwymiarowym, a jego komórki to nie wielokąty, ale wielościany. Poukładane są warstwami. Dwie warstwy zapełniają przestrzeń między dwiema równoległymi płaszczyznami. Na każdej z tych dwóch płaszczyzn widać znajomy sześciokątny parkietaż, utworzony przez ściany komórek. Wbrew jednak temu, co by się mogło wydawać, pszczele komórki nie są wcale graniastosłupami o podstawach sześciokątnych. Każda z nich wygląda jak graniastosłup sześciokątny przykryty daszkiem z trzech rombów (proszę wyobrazić sobie ogryzek ołówka, zatemperowany byle jak, bardzo silną ręką, zaledwie trzema zamaszystymi, idealnie płaskimi cięciami). Dlatego właśnie przestrzeń między dwiema równoległymi płaszczyznami zapełniają dwie warstwy komórek, przylegających sześciokątnymi podstawami do tych płaszczyzn, a ściętymi daszkami skierowanych do środka. Szczyty daszków komórek jednej warstwy pasują jak ulał do wgłębień między daszkami drugiej warstwy.

Takim podziałem rządzą dwa parametry: ustalona odległość między płaszczyznami ograniczającymi dwie warstwy komórek i ustalona objętość komórki. Zwolennicy teorii o mądrości pszczół (czy też natury) powinni zakrzyknąć: pszczele komórki są optymalne, to znaczy przy wspomnianych dwóch ograniczeniach mają najmniejsze pole powierzchni! Otóż nie: wspomniany już Fejes Tóth wskazał w 1964 r. - w artykule, którego tytuł pożyczyłem sobie, pisząc tę nowinkę - inny, lepszy wielościan, w kształcie graniastosłupa sześciokątnego, przykrytego daszkiem z dwóch czworokątów i dwóch sześciokątów. Dwie warstwy takich wielościanów szczelnie wypełniają obszar zawarty między dwiema równoległymi płaszczyznami.



Po lewej: wielościan Fejesa Tótha; po prawej: wielościan pszczół.
Rozwiązanie węgierskiego matematyka jest od rozwiązania pszczelego oszczędniejsze o około 0,35%. Czy jest optymalne? Tego, niestety, do dziś nie wiadomo.



Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach