Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 27-09-2000  
 Jesteś tutaj
nowinka:
Cząstka spadku po Fermacie
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
27-09-2000





Cząstka spadku po Fermacie
Choć Wielkie Twierdzenie Fermata zostało ostatnio udowodnione, nie oznacza to wcale, że wszystkie lakoniczne stwierdzenia Fermata, poczynione przezeń na rozmaitych marginesach i w obszernej korespondencji, zostały do końca wyjaśnione. Jedno z licznych przypuszczeń słynnego Francuza, dotyczące tzw. liczb Fermata, jest fałszywe. Mimo to nikt nie potrafi sprawy liczb Fermata ostatecznie zamknąć. Kilka okruchów wiedzy zdobytych zostało niedawno.

Pierre de Fermat (1601-1665) powiększenie...

Liczby Fermata to liczby postaci , gdzie n może przybierać wartości 0, 1, 2, ... Fermat sprawdził, że początkowe wyrazy tego ciągu: 3, 5, 17, 257 i 65537 są liczbami pierwszymi. Wysnuł stąd hipotezę, że wszystkie następne F(n) też są liczbami pierwszymi. Wiemy dziś, że racji nie miał. Co więcej, nikomu nie udało się wskazać żadnej innej liczby Fermata, która byłaby liczbą pierwszą. Zagadką jest, czy Francuz mylił się na całej linii i F(0), F(1), F(2), F(3) oraz F(4), są jedynymi liczbami pierwszymi wśród liczb Fermata.

Nikt nie wpadł na pomysł, który pozwoliłby za jednym zamachem uporać się ze wszystkimi liczbami Fermata. Ci, których sprawa interesowała w dostatecznym stopniu, próbowali jedynie sprawdzać, że ta czy inna liczba Fermata pierwsza nie jest. Euler np. stwierdził, że F(5)=4294967297 jest podzielna przez 641 (4294967297=641 x 6700417). Kolejna liczba Fermata też jest złożona:

F(6)=18446744073709551617=274177 x 67280421310721

Wszędzie tam, gdzie sięgają nasze zdolności obliczeniowe, okazuje się, że liczby Fermata, wyjąwszy wspomnianą pierwszą piątkę, są złożone.

Im dalej, tym sprawdzanie złożoności liczb Fermata staje się trudniejsze. W ciągu ponad trzech wieków, które upłynęły od śmierci francuskiego matematyka, znaleziono liczne kryteria, pozwalające twierdzić, że dana liczba jest złożona nawet wówczas, gdy nie potrafimy wskazać żadnego jej dzielnika. Niemniej na razie nie potrafimy za pomocą takich narzędzi rozstrzygnąć sprawy raz na zawsze. Jeden z kłopotów polega na tym, że wartości F(n) rosną wraz z n w piekielnym wprost tempie. Gdybyśmy usiłowali je zapisywać w układzie dziesiątkowym, już F(13), która ma ponad 2400 cyfr, nie mieściłaby się na jednej stronie maszynopisu, a taka F(400) sprawiałaby problemy zupełnie innego rodzaju: liczba jej cyfr przekracza 7 x 10119 i jest nieporównanie większa, niż liczba wszystkich atomów we Wszechświecie.

Do niedawna najmniejszą liczbą Fermata, o której nic nie wiedzieliśmy, była F(24), mająca ponad 5 milionów cyfr. Jednakże rok temu Richard Crandall, Ernst Mayer i Jason Papadopoulos, prowadząc obliczenia na dwóch fizycznie odseparowanych komputerach (by wykluczyć wpływ losowych usterek sprzętu na wynik), stwierdzili, że jest to liczba złożona. Jak podaje Crandall, wymagało to mniej więcej 1017 pojedynczych operacji, czyli tylu, ile poważne i olbrzymie firmy potrzebują do przygotowania idealnej, cyfrowej kopii filmu rysunkowego w rodzaju "Dzwonnik z Notre Dame". Zaskakująco dużo, jak na jedno mechaniczne "tak" lub "nie". Co ciekawe, żadnego dzielnika F(24) nie znamy.

Następna w kolejce do sprawdzania jest teraz F(31), gdyż o złożoności liczb Fermata o numerach od 25 do 30 wiedziano już wcześniej (za pomocą komputera udało się znaleźć niektóre ich dzielniki). F(31) ma ponad 640 miliardów cyfr. Brutalne próby znalezienia odpowiedzi na pytanie, czy jest to liczba pierwsza, zajęłyby - z użyciem najlepszego dostępnego dziś sprzętu i oprogramowania - kilka tysięcy lat. Być może rozmaite nanotechnologie i kwantowe komputery coś tu zmienią, ale chyba nieprędko. I z pewnością nie do końca...

O wielu znacznie większych liczbach Fermata wiadomo, że są złożone. Wydaje się, że największą z nich jest niewyobrażalnie olbrzymia F(35563). Przed miesiącem, 27 sierpnia 2000 r., Nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że F(35563) jest podzielna przez 357 x 235567+1. Ściślej mówiąc, zrobił to zań właściwie zaprogramowany i odpowiednio duży komputer.

Cóż, pozostaje tylko mieć nadzieję, że kiedyś trafi się ktoś, kto - miast siadać do klawiatury - pomyśli i powie nam, jak to jest naprawdę, nie bawiąc się we wspomagany komputerowo handel detaliczny.



Paweł Strzelecki

Aktualne rekordowe wartości liczb pierwszych można znaleźć na stronach:
http://www.utm.edu/research/primes/
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach