Informacje
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Informacje > Nowinki 2000-2002 > Matematyka > Nowinka z dn. 22-01-2001  
 Jesteś tutaj
nowinka:
W stronę hipotezy Catalana
autor:
Paweł Strzelecki
z dnia:
22-01-2001





W stronę hipotezy Catalana
W ostatnich miesiącach matematycy wykonali drobny kroczek w stronę rozwiązania jednego z najbardziej znanych problemów otwartych teorii liczb, tak zwanej hipotezy Catalana, wysuniętej w 1844 r. i wciąż dość skutecznie opierającej się rozmaitym śmiałkom. Co ciekawe, samo sformułowanie owej hipotezy jest na tyle proste, że bez przeszkód może je zrozumieć bystre dziecko. Poświęćmy więc całej sprawie kilka zdań.

Hipoteza orzeka, że 8=23 i 9=32 są w zbiorze liczb naturalnych większych od 1 jedynymi kolejnymi potęgami (o wykładnikach naturalnych i większych od 1). Inaczej mówiąc, równanie x p -y q =1 ma (wedle Catalana) tylko jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych większych od 1, a mianowicie x=q=3, y=p=2. Innych rozwiązań do dziś nie znamy. Czy faktycznie ich nie ma - nie wiadomo.

Jedyny naprawdę istotny postęp w zmaganiach z tym zagadnieniem miał miejsce ćwierć wieku temu. R. Tijdeman udowodnił wówczas, że równanie Catalana ma - prócz przytoczonego wyżej rozwiązania - co najwyżej skończenie wiele innych. Wiemy, że każda z czterech liczb stanowiących potencjalne rozwiązanie powinna być mniejsza od pewnej bardzo dużej liczby N. Kłopot polega na tym, że wartość N znaleziona przez Tijdemana jest znacznie większa, niż typowe "liczby olbrzymy", którymi popularyzatorzy matematyki epatują od czasu do czasu tzw. szeroką publiczność. Gdyby ktoś wpadł na pomysł brutalnego sprawdzenia za pomocą dużego superkomputera, czy wśród liczb 2, 3, 4, 5, 6, ..., N nie ma przypadkiem jakichś nieznanych rozwiązań równania Catalana, musiałby się srodze rozczarować: czas przeszukiwania byłby nieporównanie dłuższy, niż spodziewany czas istnienia naszego Wszechświata.

Ostatnio Preda Mihailescu, Rumun pracujący na Wydziale Informatyki słynnej Politechniki Zuryskiej (ETH), dowiódł, że w nowych, nieznanych czwórkach liczb, które spełniałyby równanie Catalana, wykładniki p i q musiałyby być tzw. podwójnymi liczbami pierwszymi Weifericha. To nowa, niebanalna wskazówka dla każdego, kto chciałby siłowymi metodami wyszukać kontrprzykład do hipotezy Catalana. Dotychczas znanych jest tylko sześć par takich liczb. Firma Ensor Computing zaprasza chętnych do udziału w zbiorowym wysiłku mechanicznego poszukiwania nowych par (odpowiedni program i inne informacje można znaleźć na stronie www http://catalan.ensor.org/).

Czy takie próby mogą doprowadzić do rozwiązania hipotezy Catalana? Raczej nie. W cenie są pomysły, a nie umiejętność uruchamiania (cudzych) programów...

Paweł Strzelecki
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach