27 lutego 2001 r. mija 120 lat od narodzin Luitzena Brouwera, którego prace z czystej matematyki legły u podstaw topologii i należą do najwybitniejszych odkryć XX w., a wycieczki w dziedzinę filozofii matematyki zakończyły się stworzeniem kierunku, zwanego intuicjonizmem.
|
|
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)
|
|
Luitzen Egbertus Jan Brouwer urodził się 27 lutego 1881 r. w Overschie w Holandii. W 1897 r. rozpoczął studia matematyczne na Uniwersytecie w Amsterdamie, gdzie po dziesięciu latach obronił pracę doktorską, a po dwóch kolejnych - habilitował się. W 1912 otrzymał na tej uczelni profesurę i pozostał na katedrze aż do przejścia na emeryturę w 1951 r., mimo że w 1919 r. David Hilbert (1862-1943) zaoferował mu stanowisko profesora w Getyndze.
Lata 1908-1913 to okres powstania najważniejszych prac matematycznych Brouwera - uzyskał wówczas wyniki, które uczyniły zeń współtwórcę topologii - gałęzi matematyki zajmującej się własnościami przestrzeni zachowywanymi przy przekształceniach ciągłych, których przekształcenia odwrotne również są ciągłe (czyli homeomorfizmach); innymi słowy, odwzorowaniach przestrzeni bez ich "rozrywania" i "sklejania". Narodziny topologii wiąże się zazwyczaj z pracami George'a Cantora (1845-1918) i Henri Poincarégo (1854-1912). Do najistotniejszych osiągnięć Brouwera zalicza się:
- Wykazanie w 1911 r., że każde ciągłe przekształcenie koła lub kuli w siebie pozostawia przynajmniej jeden punkt nieporuszony. Jest to twierdzenie o punkcie stałym, które w nieco przystępniejszej postaci można spopularyzować tak: gdy mieszamy herbatę w filiżance, zawsze jakaś cząsteczka płynu powróci do położenia zajmowanego przed rozpoczęciem mieszania.
- Udowodnienie w 1913 r., że dwóch przestrzeni euklidesowych, które mają różną liczbę wymiarów, nie da się przekształcić na siebie wzajemnie jednoznacznie w sposób ciągły. To twierdzenie o niezmienniczości wymiaru miało istotne implikacje w kwestii definicji liczby wymiaru.
- Podanie po raz pierwszy w historii matematyki (w 1910 r.) przykładu kontinuum nierozkładalnego.
Brouwer, choć tak zasłużony dla rozwoju topologii, nigdy jej nie wykładał. W I tomie monografii Mystic, Geometer, and Intuitionist: the Life of L. E. J. Brouwer (Mistyk, geometra i intuicjonista: życie L. E. J. Brouwera) Dirk Van Dalen przytacza wspomnienie B. L. van der Waerdena, który w latach 1919-1923 studiował na Uniwersytecie w Amsterdamie:
Pewnego razu zadałem mu na wykładzie pytanie. Tydzień później, przed kolejnym wykładem podszedł do mnie jego asystent, który powiedział, że Brouwer nie życzy sobie, by w sali wykładowej zadawano mu pytania. Po prostu sobie tego nie życzył, zawsze pozostając odwrócony ku tablicy, nigdy w kierunku studentów. [...] Mimo że najważniejsze dokonania naukowe Brouwera dotyczyły topologii, nigdy nie dawał z niej wykładów, lecz wyłącznie z podstaw intuicjonizmu, i tylko z tego. Nie był przekonany o prawdziwości swych wyników w topologii, gdyż nie pozostawały w zgodzie z intuicjonizmem [...]. Był bardzo dziwną postacią, zakochaną w swej filozofii.
Intuicjonizm Brouwera stanowił na początku XX w. alternatywę dla logicyzmu Gottloba Fregego (1848-1925) i Bertranda Russella (1872-1970) oraz formalizmu Hilberta. Logicyzm przyjmował wszechwładzę praw logiki, formalizm zaś głosił, że matematyka to wnioskowanie z dowolnie przyjętych założeń, jeśli tylko da się je zapisać w postaci symbolicznej. Intuicjonizm proponował nieco zawężoną perspektywę. Wymagał, by dowody matematyczne były konstruktywne, tzn. by nie tylko wykazywały istnienie jakiegoś obiektu, lecz także podawały sposób jego konstrukcji. Brouwer odrzucał też klasyczną logikę Fregego-Hilberta, kwestionując arystotelesowską zasadę wyłącznego środka: wskazywał, że choć oczywista jest prawdziwość zdania "Deszcz pada lub nieprawda, że deszcz pada", w matematyce schemat ten nie zawsze się sprawdza. Na przykład gdybyśmy podstawili zamiast "Deszcz pada" zdanie "Każdą liczbę parzystą większą od 2 można rozłożyć na sumę dwóch liczb pierwszych", albowiem do dziś nie udało się rozstrzygnąć, czy zdanie to, czy może jego zaprzeczenie jest prawdziwe.
Z jednej strony, intuicjonizm chronił przed wieloma sprzecznościami, związanymi na przykład z procesami nieskończonymi. Z drugiej, odgradzał od znacznej części matematyki współczesnej, która rozwijała się jednak pod sztandarami formalizmu. Niemniej Brouwerowi udało się udowodnić w zgodzie z zasadami intuicjonizmu wiele klasycznych wyników matematyki, łącznie ze swoim twierdzeniem o punkcie stałym.
Brouwer zmarł 2 grudnia 1966 r. w holenderskim Blaricum.
|
